Giải Hoạt động 4 trang 74 SGK Toán 9

Lời giải

a) Vẽ tam giác đều $ABC$ và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp.

- Vẽ tam giác đều $ABC$ (ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng $60^\circ$).
- Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$, nên nó là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh.
- Cách làm: vẽ đường trung trực của hai cạnh (chẳng hạn trung trực của $AB$ và trung trực của $BC$), chúng cắt nhau tại điểm $O$. Khi đó $OA = OB = OC$.
- Lấy $O$ làm tâm, bán kính $R = OA$, vẽ đường tròn $(O;\,OA)$. Đường tròn này đi qua ba đỉnh $A$, $B$, $C$ nên là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Vì sao tâm $O$ trùng với trọng tâm tam giác.

Xét cạnh $BC$ có trung điểm $M$:

- $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$ nên $OB = OC$. Mặt khác $AB = AC$ (tam giác đều) nên $A$ cũng cách đều $B$, $C$, tức là $A$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
- Vậy đường trung trực của $BC$ chính là đường thẳng $AM$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ cũng là đường trung tuyến kẻ từ $A$.

Lập luận tương tự cho hai cạnh còn lại: mỗi đường trung trực của tam giác đều trùng với một đường trung tuyến. Do đó $O$ (giao của ba đường trung trực) cũng là giao của ba đường trung tuyến, tức là trọng tâm của tam giác.

Vậy tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm tam giác đều $ABC$.

c) Vì sao $\widehat{OBM} = 30^\circ$ và $OB = \dfrac{\sqrt{3}}{3}BC$.

*Tính $\widehat{OBM}$:*

- Theo câu b), $O$ nằm trên đường trung tuyến $BO$ kẻ từ $B$; trong tam giác đều đường trung tuyến này cũng là đường phân giác của góc $B$. Do đó $BO$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$.
- Vì $\widehat{ABC} = 60^\circ$ nên $\widehat{OBC} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
- $M$ nằm trên cạnh $BC$ nên $\widehat{OBM} = \widehat{OBC} = 30^\circ$.

*Tính $OB$:*

- Vì $O$ nằm trên trung trực của $BC$ nên $OM \perp BC$ tại $M$, do đó tam giác $OMB$ vuông tại $M$.
- $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2}$.
- Trong tam giác vuông $OMB$: $\cos\widehat{OBM} = \dfrac{BM}{OB}$, suy ra
$$OB = \dfrac{BM}{\cos 30^\circ} = \dfrac{\tfrac{BC}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{BC}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,BC.$$

Vậy $\widehat{OBM} = 30^\circ$ và $OB = \dfrac{\sqrt{3}}{3}BC$ (đpcm).

Đáp số