Giải Thực hành 2 trang 85 SGK Toán 12

Lời giải

Công thức hình thang. Chia đoạn $[a;b]$ thành $n$ đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia $x_0=a,\ x_1,\ \dots,\ x_n=b$ với độ dài mỗi đoạn $h=\dfrac{b-a}{n}$. Khi đó
$$\int_a^b f(x)\,dx\approx T_n=\frac{h}{2}\big[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\big].$$
Sai số của phương pháp được đánh giá bởi
$$\left|\int_a^b f(x)\,dx-T_n\right|\le\frac{(b-a)^3}{12n^2}\,M,\quad M=\max_{[a;b]}\big|f''(x)\big|.$$

Bước 1. Tìm $M$ và chọn $n$. Ở đây $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$, $a=1,\ b=2$, nên $b-a=1$.

Ta có
$$f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2},\qquad f''(x)=\frac{e^x\,(x^2-2x+2)}{x^3}.$$
Trên $[1;2]$ tử số $e^x(x^2-2x+2)=e^x\big[(x-1)^2+1\big]>0$ và $x^3>0$ nên $f''(x)>0$. So sánh các giá trị:
$$f''(1)=e\approx 2,72;\quad f''(1,5)\approx 1,66;\quad f''(2)=\frac{e^2}{4}\approx 1,85.$$
Giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, do đó
$$M=\max_{[1;2]}|f''(x)|=f''(1)=e\approx 2,72.$$

Để đạt độ chính xác $0,01$ ta cần
$$\frac{(b-a)^3}{12n^2}\,M=\frac{e}{12n^2}\le 0,01\ \Longleftrightarrow\ n^2\ge\frac{e}{0,12}\approx 22,65\ \Longleftrightarrow\ n\ge 4,76.$$
Chọn $n=5$, khi đó $h=\dfrac{2-1}{5}=0,2$ và sai số $\le\dfrac{e}{12\cdot 25}\approx 0,009<0,01$ (thoả mãn).

Bước 2. Lập bảng giá trị (làm tròn đến 4 chữ số thập phân), với $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$:

| $x_i$ | $1$ | $1,2$ | $1,4$ | $1,6$ | $1,8$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x_i)$ | $2,7183$ | $2,7668$ | $2,8966$ | $3,0956$ | $3,3609$ | $3,6945$ |

Bước 3. Áp dụng công thức hình thang với $h=0,2$:
$$T_5=\frac{0,2}{2}\Big[f(1)+f(2)+2\big(f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8)\big)\Big].$$
Tổng các giá trị trong ngoặc:
$$f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8)=2,7668+2,8966+3,0956+3,3609=12,1199,$$
$$f(1)+f(2)=2,7183+3,6945=6,4128.$$
Suy ra
$$T_5=0,1\big[6,4128+2\cdot 12,1199\big]=0,1\cdot 30,6526=3,0653.$$

Bước 4. Kết luận và kiểm tra. Vậy
$$\int_1^2\frac{e^x}{x}\,dx\approx 3,07\quad(\text{với độ chính xác }0,01).$$
Kiểm tra: giá trị "đúng" của tích phân xấp xỉ $3,059$; sai số $|3,0653-3,059|\approx 0,006<0,01$, phù hợp với đánh giá sai số ở trên.

Đáp số