Giải Bài 6.11 trang 79 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi tên các biến cố:
- $R$: "Thư được chọn là thư rác", $\bar R$: "Thư được chọn là thư đúng".
- $C$: "Thư được chọn bị chặn", $\bar C$: "Thư được chọn không bị chặn".

Theo giả thiết:
$$P(R)=0{,}03,\quad P(\bar R)=0{,}97,\quad P(C\mid R)=0{,}95,\quad P(C\mid \bar R)=0{,}01.$$
Từ đó: $P(\bar C\mid R)=0{,}05$ và $P(\bar C\mid \bar R)=0{,}99$.

Sơ đồ cây cho các xác suất:
$$P(R\cap C)=0{,}03\cdot 0{,}95=0{,}0285,\qquad P(\bar R\cap C)=0{,}97\cdot 0{,}01=0{,}0097,$$
$$P(R\cap \bar C)=0{,}03\cdot 0{,}05=0{,}0015,\qquad P(\bar R\cap \bar C)=0{,}97\cdot 0{,}99=0{,}9603.$$

a) Xác suất thư bị chặn là thư rác $P(R\mid C)$.

Xác suất một thư bị chặn (công thức xác suất toàn phần):
$$P(C)=P(R)P(C\mid R)+P(\bar R)P(C\mid \bar R)=0{,}0285+0{,}0097=0{,}0382.$$
Theo công thức Bayes:
$$P(R\mid C)=\frac{P(R)P(C\mid R)}{P(C)}=\frac{0{,}0285}{0{,}0382}\approx 0{,}746.$$

b) Xác suất thư không bị chặn là thư đúng $P(\bar R\mid \bar C)$.

Xác suất một thư không bị chặn:
$$P(\bar C)=1-P(C)=1-0{,}0382=0{,}9618.$$
Theo công thức Bayes:
$$P(\bar R\mid \bar C)=\frac{P(\bar R)P(\bar C\mid \bar R)}{P(\bar C)}=\frac{0{,}9603}{0{,}9618}\approx 0{,}9984.$$

c) Tỉ lệ phần trăm.

- Trong số các thư bị chặn, tỉ lệ thư đúng là:
$$P(\bar R\mid C)=\frac{P(\bar R\cap C)}{P(C)}=\frac{0{,}0097}{0{,}0382}\approx 0{,}2539=25{,}4\%.$$
(Hoặc bằng $1-0{,}746=0{,}254$.)

- Trong số các thư không bị chặn, tỉ lệ thư rác là:
$$P(R\mid \bar C)=\frac{P(R\cap \bar C)}{P(\bar C)}=\frac{0{,}0015}{0{,}9618}\approx 0{,}00156=0{,}16\%.$$
(Hoặc bằng $1-0{,}9984=0{,}0016$.)

Vậy bộ lọc hoạt động khá tốt: trong số thư không bị chặn chỉ khoảng $0{,}16\%$ là thư rác lọt lưới, nhưng trong số thư bị chặn vẫn có tới khoảng $25{,}4\%$ là thư đúng bị chặn nhầm.

Đáp số