Giải Luyện tập 5 trang 78 SGK Toán 12

Lời giải

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, ta chưa có thông tin gì riêng về ông M, nên xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M bằng đúng tỉ lệ mắc bệnh trong dân số:

$$P(\text{mắc bệnh X}) = 0{,}2\% = 0{,}002.$$

b) Theo tình huống mở đầu Mục 2, xét nghiệm có các đặc tính:

- Nếu người mắc bệnh X thì xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất $0{,}99$.
- Nếu người không mắc bệnh X thì xét nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính (dương tính giả) với xác suất $0{,}01$.

Xét các biến cố:

- $A$: "ông M mắc bệnh X";
- $\overline{A}$: "ông M không mắc bệnh X";
- $B$: "xét nghiệm cho kết quả dương tính".

Theo giả thiết:

$$P(A) = 0{,}002, \quad P(\overline{A}) = 1 - 0{,}002 = 0{,}998,$$

$$P(B\,|\,A) = 0{,}99, \quad P(B\,|\,\overline{A}) = 0{,}01.$$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần với hệ biến cố đầy đủ $\{A,\ \overline{A}\}$:

$$P(B) = P(A)\,P(B\,|\,A) + P(\overline{A})\,P(B\,|\,\overline{A}),$$

$$P(B) = 0{,}002 \times 0{,}99 + 0{,}998 \times 0{,}01 = 0{,}00198 + 0{,}00998 = 0{,}01196.$$

Áp dụng công thức Bayes, xác suất ông M mắc bệnh khi biết kết quả xét nghiệm dương tính là:

$$P(A\,|\,B) = \dfrac{P(A)\,P(B\,|\,A)}{P(B)} = \dfrac{0{,}002 \times 0{,}99}{0{,}01196} = \dfrac{0{,}00198}{0{,}01196} = \dfrac{99}{598} \approx 0{,}1655.$$

Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là $\dfrac{99}{598} \approx 16{,}55\%$.

> *Nhận xét:* Mặc dù kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất thực sự mắc bệnh chỉ khoảng $16{,}55\%$, vì bệnh rất hiếm gặp ($0{,}2\%$) nên phần lớn các kết quả dương tính là dương tính giả.

Đáp số