Giải Bài 5.47 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích dữ kiện.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-2;-3;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;-2)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(1;-2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(-1;1;2)$.

a) Vị trí tương đối của $d$ và $d'$.

Hai vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;-2)$ và $\vec{v}=(-1;1;2)$ không cùng phương (vì $\dfrac{1}{-1}\neq\dfrac{2}{1}$), nên $d$ và $d'$ không song song và cũng không trùng nhau. Vậy chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta xét tích hỗn tạp $[\vec{u},\vec{v}]\cdot\vec{AB}$ với $\vec{AB}=(3;1;-3)$.

Trước hết:
$$[\vec{u},\vec{v}]=\left(\begin{vmatrix}2&-2\\1&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-2&1\\2&-1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1&2\\-1&1\end{vmatrix}\right)=(6;\,0;\,3).$$

Do đó:
$$[\vec{u},\vec{v}]\cdot\vec{AB}=6\cdot 3+0\cdot 1+3\cdot(-3)=18-9=9\neq 0.$$

Vì $[\vec{u},\vec{v}]\cdot\vec{AB}\neq 0$ nên ba vectơ $\vec{u},\vec{v},\vec{AB}$ không đồng phẳng, suy ra $d$ và $d'$ chéo nhau.

b) Góc giữa $d$ và $d'$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$. Ta có:
$$\cos\varphi=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}.$$

Tính:
$$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot(-1)+2\cdot 1+(-2)\cdot 2=-1+2-4=-3,$$
$$|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3,\qquad |\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}.$$

Suy ra:
$$\cos\varphi=\frac{|-3|}{3\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\approx 0{,}41.$$

Vậy $\varphi\approx 65^{\circ}54'$ (khoảng $65{,}9^{\circ}$).

Đáp số