Giải Bài 5.46 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P}=(1;-1;-1)$, mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q}=(2;1;-1)$.

Vì $(R)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n_R}$ của $(R)$ vuông góc với cả $\vec{n_P}$ và $\vec{n_Q}$. Do đó ta có thể chọn $\vec{n_R}$ là tích có hướng của hai vectơ đó.

Bước 1. Tìm vectơ pháp tuyến của $(R)$.
$$\vec{n_R}=\left[\vec{n_P},\vec{n_Q}\right]=\left(\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1\end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1\end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:
- Thành phần thứ nhất: $(-1)(-1)-(-1)(1)=1+1=2$.
- Thành phần thứ hai: $(-1)(2)-(1)(-1)=-2+1=-1$.
- Thành phần thứ ba: $(1)(1)-(-1)(2)=1+2=3$.

Vậy $\vec{n_R}=(2;-1;3)\neq\vec{0}$ (nên $(P)$ và $(Q)$ không song song, bài toán có nghiệm).

Bước 2. Viết phương trình $(R)$.
Mặt phẳng $(R)$ đi qua $A(-1;2;0)$ và có pháp tuyến $\vec{n_R}=(2;-1;3)$:
$$2(x+1)-1(y-2)+3(z-0)=0$$
$$2x+2-y+2+3z=0$$
$$2x-y+3z+4=0.$$

Bước 3. Kiểm tra lại.
- $A(-1;2;0)$ thuộc $(R)$: $2\cdot(-1)-2+3\cdot0+4=-2-2+4=0$ (đúng).
- $(R)\perp(P)$: $\vec{n_R}\cdot\vec{n_P}=2\cdot1+(-1)(-1)+3\cdot(-1)=2+1-3=0$ (đúng).
- $(R)\perp(Q)$: $\vec{n_R}\cdot\vec{n_Q}=2\cdot2+(-1)\cdot1+3\cdot(-1)=4-1-3=0$ (đúng).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $2x-y+3z+4=0$.

Đáp số