Giải Bài 1.4 trang 17 SGK Toán 11

Lời giải

a) $\cos\alpha=\dfrac{1}{5}$ và $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất, do đó $\sin\alpha>0$.

Ta có $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$.

Vì $\sin\alpha>0$ nên $\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$.

Suy ra:

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\frac{2\sqrt6}{5}}{\frac15}=2\sqrt6$;

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{1}{2\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}$.

b) $\sin\alpha=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai, do đó $\cos\alpha<0$.

Ta có $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$.

Vì $\cos\alpha<0$ nên $\cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{5}{9}}=-\dfrac{\sqrt5}{3}$.

Suy ra:

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\frac23}{-\frac{\sqrt5}{3}}=-\dfrac{2}{\sqrt5}=-\dfrac{2\sqrt5}{5}$;

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac{\sqrt5}{2}$.

c) $\tan\alpha=\sqrt5$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba, do đó $\sin\alpha<0,\ \cos\alpha<0$.

Ta có $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$.

Từ $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha=1+5=6$ suy ra $\cos^2\alpha=\dfrac{1}{6}$.

Vì $\cos\alpha<0$ nên $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt6}=-\dfrac{\sqrt6}{6}$.

Khi đó $\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\sqrt5\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt6}\right)=-\dfrac{\sqrt5}{\sqrt6}=-\dfrac{\sqrt{30}}{6}$.

(Thử lại: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}=1$, đúng.)

d) $\cot\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ và $\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư, do đó $\sin\alpha<0,\ \cos\alpha>0$.

Ta có $\tan\alpha=\dfrac{1}{\cot\alpha}=-\sqrt2$ (và $\cot\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$).

Từ $\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=1+\cot^2\alpha=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ suy ra $\sin^2\alpha=\dfrac{2}{3}$.

Vì $\sin\alpha<0$ nên $\sin\alpha=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt6}{3}$.

Khi đó $\cos\alpha=\cot\alpha\cdot\sin\alpha=\left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=\dfrac{\sqrt6}{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

(Thử lại: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1$, đúng.)

Đáp số