Giải Hoạt động 5 trang 12 SGK Toán 11

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét nửa đường tròn đơn vị tâm $O$, bán kính $R=1$, nằm phía trên trục hoành (H.1.9a). Với mỗi góc $\alpha$ $(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ)$, ta xác định điểm $M$ trên nửa đường tròn sao cho tia $OM$ hợp với chiều dương của trục hoành một góc $\alpha$, tức là $\widehat{xOM}=\alpha$. Gọi $M(x_0\,;\,y_0)$, trong đó $x_0$ là hoành độ và $y_0$ là tung độ của điểm $M$.

Khi đó, các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ được định nghĩa như sau:

$$\sin\alpha = y_0$$

$$\cos\alpha = x_0$$

$$\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}\quad (x_0 \ne 0,\ \text{tức là } \alpha \ne 90^\circ)$$

$$\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}\quad (y_0 \ne 0,\ \text{tức là } \alpha \ne 0^\circ \text{ và } \alpha \ne 180^\circ)$$

Nhận xét:
- Vì điểm $M$ nằm trên nửa đường tròn đơn vị phía trên trục hoành nên $y_0 \ge 0$, do đó $\sin\alpha \ge 0$ với mọi $\alpha \in [0^\circ\,;\,180^\circ]$; còn $\cos\alpha = x_0$ có thể nhận giá trị âm, bằng $0$ hoặc dương tùy theo vị trí của $M$.
- Vì $M$ thuộc đường tròn đơn vị nên $x_0^2 + y_0^2 = 1$, suy ra hệ thức cơ bản $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
- Từ định nghĩa ta có: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ (\alpha \ne 90^\circ)$ và $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\ (\alpha \ne 0^\circ,\,180^\circ)$.

Đáp số