Giải Bài 5.21 trang 65 SBT Toán 9

Lời giải

a) $BC$ tiếp xúc với đường tròn $(A)$ bán kính $AH$

Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH \perp BC$ tại $H$.

Do đó khoảng cách từ tâm $A$ đến đường thẳng $BC$ bằng $AH$, đúng bằng bán kính của đường tròn $(A)$.

Vậy $BC$ tiếp xúc với đường tròn $(A)$ bán kính $AH$ (tiếp điểm là $H$). (đpcm)

b) $BM$ và $CN$ là hai tiếp tuyến của $(A)$

Vì $M$ đối xứng với $H$ qua $AB$ nên $AB$ là trung trực của $HM$, suy ra:
$$AM = AH \quad\text{và}\quad BM = BH.$$

Từ $AM = AH$ nên $M$ nằm trên đường tròn $(A)$.

Phép đối xứng qua $AB$ biến $H$ thành $M$ và giữ nguyên $A,\ B$ (vì $A, B$ thuộc trục $AB$), nên biến tam giác $ABH$ thành tam giác $ABM$. Do đó:
$$\widehat{AMB} = \widehat{AHB} = 90^\circ.$$

Vậy $BM \perp AM$ tại điểm $M$ thuộc $(A)$, nên $BM$ là tiếp tuyến của $(A)$ tại $M$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự với $N$ đối xứng $H$ qua $AC$: $AN = AH$, $CN = CH$ và $\widehat{ANC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$, nên $CN$ là tiếp tuyến của $(A)$ tại $N$. (đpcm)

c) $MN$ là một đường kính của $(A)$

Vì $AB$ là trung trực của $HM$ nên $AB$ là tia phân giác của góc $\widehat{HAM}$, suy ra:
$$\widehat{HAM} = 2\,\widehat{HAB}.$$

Tương tự $AC$ là tia phân giác của góc $\widehat{HAN}$, suy ra:
$$\widehat{HAN} = 2\,\widehat{HAC}.$$

Do đó:
$$\widehat{MAN} = \widehat{HAM} + \widehat{HAN} = 2\big(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}\big) = 2\,\widehat{BAC} = 2\cdot 90^\circ = 180^\circ.$$

Vậy ba điểm $M,\ A,\ N$ thẳng hàng. Mà $AM = AN = AH$ (cùng bằng bán kính) nên $A$ là trung điểm của $MN$.

Vậy $MN$ là một đường kính của đường tròn $(A)$. (đpcm)

d) Diện tích tứ giác $BMNC$ với $HB = 2$ cm, $HC = 4{,}5$ cm

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên theo hệ thức lượng:
$$AH^2 = HB \cdot HC = 2 \cdot 4{,}5 = 9 \ \Rightarrow\ AH = 3 \ (\text{cm}).$$

Suy ra bán kính $(A)$ là $3$ cm và đường kính $MN = 2\cdot AH = 6$ cm.

Theo câu b): $BM = BH = 2$ cm và $CN = CH = 4{,}5$ cm.

Theo câu

b) và c): $BM \perp MN$ và $CN \perp MN$, nên $BM \parallel CN$. Vậy $BMNC$ là hình thang vuông với hai đáy $BM,\ CN$ và đường cao $MN$.

Diện tích:
$$S_{BMNC} = \frac{(BM + CN)\cdot MN}{2} = \frac{(2 + 4{,}5)\cdot 6}{2} = \frac{6{,}5 \cdot 6}{2} = 19{,}5 \ (\text{cm}^2).$$

Vậy diện tích tứ giác $BMNC$ bằng $19{,}5\ \text{cm}^2$.

Đáp số