Giải Bài 5.20 trang 65 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn thì bằng nhau.

- Từ điểm $B$ có hai tiếp tuyến $BM$ và $BE$ (tiếp điểm $M$ và $E$) nên $BE = BM$.
- Từ điểm $C$ có hai tiếp tuyến $CN$ và $CE$ (tiếp điểm $N$ và $E$) nên $CE = CN$.
- Từ điểm $A$ có hai tiếp tuyến $AM$ và $AN$ nên $AM = AN$.

a) Tính $AM$ và $AN$.

Vì $B$ nằm trên $AM$ và $C$ nằm trên $AN$, điểm $E$ nằm giữa $B$ và $C$ nên:
$$AM = AB + BM = AB + BE, \qquad AN = AC + CN = AC + CE.$$

Cộng hai đẳng thức, chú ý $BE + CE = BC$:
$$AM + AN = AB + AC + (BE + CE) = AB + AC + BC.$$

Đây chính là chu vi tam giác $ABC$:
$$AM + AN = 10 + 7 + 6 = 23 \text{ (cm)}.$$

Mà $AM = AN$ nên:
$$AM = AN = \dfrac{23}{2} = 11{,}5 \text{ (cm)}.$$

b) Tính $BM$ và $CN$.

$$BM = AM - AB = 11{,}5 - 10 = 1{,}5 \text{ (cm)},$$
$$CN = AN - AC = 11{,}5 - 7 = 4{,}5 \text{ (cm)}.$$

Kiểm tra lại. Ta có $BE = BM = 1{,}5$ cm và $CE = CN = 4{,}5$ cm, suy ra $BC = BE + CE = 1{,}5 + 4{,}5 = 6$ cm, đúng bằng độ dài đã cho. Vậy kết quả hợp lý.

Kết luận: $AM = AN = 11{,}5$ cm; $BM = 1{,}5$ cm; $CN = 4{,}5$ cm.

Đáp số