Giải Bài 4.32 trang 52 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $\widehat{B}=60^\circ$ và $\widehat{C}=45^\circ$ đều là góc nhọn nên chân đường cao $H$ nằm giữa $B$ và $C$, do đó $BH+HC=BC=6$ cm. Ta đặt hai đoạn này làm ẩn rồi lập hệ phương trình.

Chọn ẩn. Gọi $BH=x$ (cm), $HC=y$ (cm), với $x>0,\ y>0$.

Vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ nên:
$$x+y=6. \qquad (1)$$

Thiết lập phương trình theo đường cao $AH$.

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có $\widehat{B}=60^\circ$ nên:
$$AH=BH\cdot\tan 60^\circ=x\sqrt{3}.$$

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có $\widehat{C}=45^\circ$ nên:
$$AH=HC\cdot\tan 45^\circ=y.$$

Hai biểu thức cùng bằng $AH$ nên:
$$x\sqrt{3}=y. \qquad (2)$$

Giải hệ phương trình. Thay $(2)$ vào $(1)$:
$$x+x\sqrt{3}=6\ \Rightarrow\ x(1+\sqrt{3})=6\ \Rightarrow\ x=\dfrac{6}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{6(\sqrt{3}-1)}{2}=3(\sqrt{3}-1).$$

Suy ra:
$$AH=y=x\sqrt{3}=3(\sqrt{3}-1)\cdot\sqrt{3}=3(3-\sqrt{3})\ \text{(cm)}.$$

Kiểm tra lại. Khi đó $BH=3\sqrt3-3\approx2,20$ cm, $HC=AH=3(3-\sqrt3)\approx3,80$ cm, nên $BH+HC\approx6$ cm (đúng với $BC=6$ cm); đồng thời $BH\cdot\tan60^\circ=HC\cdot\tan45^\circ=AH$. Vậy $AH=3(3-\sqrt{3})$ cm (đpcm).

Đáp số