Giải Bài 9.28 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích và vẽ hình. Hình vuông $ABCD$ cạnh $4$ cm, $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Vì các điểm đều là trung điểm nên:
$$MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = AM = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}.$$

a) Chứng minh tứ giác $MNPQ$ nội tiếp một đường tròn.

*Chứng minh $MNPQ$ là hình vuông:*

Xét bốn tam giác $MBN$, $NCP$, $PDQ$, $QAM$. Mỗi tam giác vuông tại đỉnh của hình vuông ($\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{A}=90^\circ$) và có hai cạnh góc vuông đều bằng $2$ cm, nên bốn tam giác đó là các tam giác vuông cân bằng nhau.

Từ đó các cạnh huyền bằng nhau:
$$MN = NP = PQ = QM = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \text{ (cm)},$$
nên $MNPQ$ là hình thoi.

Mỗi tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng $45^\circ$, chẳng hạn $\widehat{BNM} = \widehat{CNP} = 45^\circ$. Xét góc tại đỉnh $N$ của tứ giác:
$$\widehat{MNP} = 180^\circ - \widehat{BNM} - \widehat{CNP} = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ.$$
Hình thoi có một góc vuông nên $MNPQ$ là hình vuông.

*Chứng minh nội tiếp:* Hình vuông $MNPQ$ có $\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = \widehat{Q} = 90^\circ$, do đó hai góc đối bù nhau:
$$\widehat{M} + \widehat{P} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$$
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên $MNPQ$ nội tiếp được một đường tròn (đpcm).

b) Tính bán kính và chu vi của đường tròn đó.

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông $MNPQ$ có tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính bằng nửa đường chéo.

Đường chéo của hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$ cm là:
$$MP = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \text{ (cm)}.$$
Suy ra bán kính:
$$R = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}.$$

Chu vi đường tròn:
$$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ (cm)}.$$

Kiểm tra lại: $MNPQ$ có tâm trùng tâm hình vuông $ABCD$; khoảng cách từ tâm đến mỗi trung điểm cạnh bằng $\dfrac{4}{2}=2$ cm $= R$, phù hợp với kết quả $R = 2$ cm.

Đáp số