Giải Bài 9.27 trang 56 SBT Toán 9

Lời giải

Ta dùng tính chất cơ bản của tứ giác nội tiếp: *Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^\circ$.*

a) Hình bình hành nội tiếp một đường tròn thì là hình chữ nhật.

Gọi hình bình hành $ABCD$ nội tiếp một đường tròn.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai góc đối bằng nhau:
$$\widehat{A} = \widehat{C}.$$

Vì $ABCD$ nội tiếp đường tròn nên hai góc đối bù nhau:
$$\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ.$$

Suy ra $2\widehat{A} = 180^\circ$, do đó $\widehat{A} = 90^\circ$. Tương tự $\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ$.

Hình bình hành có một góc vuông (và ở đây cả bốn góc đều vuông) nên $ABCD$ là hình chữ nhật (đpcm).

b) Hình thoi nội tiếp một đường tròn thì là hình vuông.

Gọi hình thoi $ABCD$ nội tiếp một đường tròn.

Hình thoi là một trường hợp đặc biệt của hình bình hành, nên theo câu a), hình thoi $ABCD$ nội tiếp đường tròn phải là hình chữ nhật, tức là $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$.

Mà $ABCD$ là hình thoi nên có bốn cạnh bằng nhau. Một tứ giác vừa có bốn cạnh bằng nhau vừa có bốn góc vuông chính là hình vuông (đpcm).

c) Hình thang nội tiếp một đường tròn thì là hình thang cân.

Gọi hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD$ (hai cạnh đáy), nội tiếp một đường tròn. Hai cạnh bên là $AD$ và $BC$.

Vì $AB \parallel CD$, xét cát tuyến $AD$, hai góc $\widehat{A}$ (tức $\widehat{DAB}$) và $\widehat{D}$ (tức $\widehat{ADC}$) là hai góc trong cùng phía nên:
$$\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ. \quad (1)$$

Vì $ABCD$ nội tiếp đường tròn nên hai góc đối $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$ bù nhau:
$$\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$$\widehat{D} = \widehat{C}.$$

Hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau ($\widehat{C} = \widehat{D}$) nên nó là hình thang cân (đpcm).

Đáp số