Giải Bài 6.2 trang 7 SBT Toán 11

Lời giải

Kiến thức sử dụng: Với $a>0,\ a\neq 1$, so sánh hai lũy thừa cùng cơ số $a$ dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:
- Nếu $a>1$ thì số mũ lớn hơn cho lũy thừa lớn hơn (hàm đồng biến).
- Nếu $0<a<1$ thì số mũ lớn hơn cho lũy thừa nhỏ hơn (hàm nghịch biến).

a) Ta có $a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{5}{6}}$.

So sánh hai số mũ: quy về cùng mẫu $12$:
$$\frac{3}{4}=\frac{9}{12},\qquad \frac{5}{6}=\frac{10}{12}\ \Rightarrow\ \frac{3}{4}<\frac{5}{6}.$$

Số mũ nhỏ hơn ($\frac{3}{4}$) lại cho lũy thừa lớn hơn, chứng tỏ hàm số mũ cơ số $a$ nghịch biến. Do đó $0<a<1$.

*Kiểm tra:* chọn $a=\dfrac{1}{2}$: $\left(\dfrac12\right)^{3/4}\approx 0{,}595 > \left(\dfrac12\right)^{5/6}\approx 0{,}561$ — đúng.

Vậy $0<a<1$.

b) Ta có $a^{\frac{11}{6}} < a^{\frac{15}{8}}$.

So sánh hai số mũ: quy về cùng mẫu $24$:
$$\frac{11}{6}=\frac{44}{24},\qquad \frac{15}{8}=\frac{45}{24}\ \Rightarrow\ \frac{11}{6}<\frac{15}{8}.$$

Số mũ lớn hơn ($\frac{15}{8}$) cho lũy thừa lớn hơn, chứng tỏ hàm số mũ cơ số $a$ đồng biến. Do đó $a>1$.

*Kiểm tra:* chọn $a=2$: $2^{11/6}\approx 3{,}564 < 2^{15/8}\approx 3{,}668$ — đúng.

Vậy $a>1$.

Đáp số