Giải Bài 7.10 trang 22 SBT Khoa học tự nhiên 9

Lời giải

1. Vẽ (mô tả) đường truyền của tia sáng

- Tia tới vuông góc với mặt $AB$ nên truyền thẳng vào lăng kính tại $I$ (góc khúc xạ bằng $0$).
- Tia $IJ$ tới mặt $AC$ tại $J$, bị phản xạ toàn phần lần thứ nhất.
- Tia phản xạ $JK$ tới mặt $AB$ tại $K$, bị phản xạ toàn phần lần thứ hai.
- Tia $KE$ đi tới đáy $BC$ tại $E$ và ló ra vuông góc với $BC$.

Đường truyền: $I \to J \, (AC) \to K \, (AB) \to E \, (BC)$.

2. Góc tới tại mặt $AC$

Vì $IJ \perp AB$ nên $IJ$ trùng phương pháp tuyến của $AB$. Pháp tuyến của hai mặt $AB$ và $AC$ hợp với nhau một góc đúng bằng góc giữa hai mặt, tức bằng $A$. Do đó tia $IJ$ hợp với pháp tuyến tại $J$ một góc:
$$i_1 = A.$$

3. Góc tới tại mặt $AB$ (xét tam giác $AJK$)

Tia phản xạ $JK$ hợp với mặt $AC$ một góc $90^\circ - i_1 = 90^\circ - A$, nên góc trong tại $J$ là $\widehat{AJK} = 90^\circ + A$.

Trong tam giác $AJK$ có $\widehat{A} = A$ nên:
$$\widehat{AKJ} = 180^\circ - A - (90^\circ + A) = 90^\circ - 2A.$$

Đây là góc giữa tia $JK$ và mặt $AB$, vậy góc tới tại $K$:
$$i_2 = 90^\circ - (90^\circ - 2A) = 2A.$$

4. Điều kiện tia ló vuông góc với $BC$ (xét tam giác $BKE$)

Tia phản xạ $KE$ hợp với mặt $AB$ một góc $90^\circ - i_2 = 90^\circ - 2A$, nên $\widehat{BKE} = 90^\circ - 2A$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên góc đáy:
$$\widehat{B} = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}.$$

Tia ló vuông góc với $BC$ nghĩa là $\widehat{KEB} = 90^\circ$. Tổng ba góc trong tam giác $BKE$:
$$\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) + (90^\circ - 2A) + 90^\circ = 180^\circ.$$
$$270^\circ - \frac{5A}{2} = 180^\circ \;\Rightarrow\; \frac{5A}{2} = 90^\circ \;\Rightarrow\; A = 36^\circ.$$

5. Kiểm tra lại

Với $A = 36^\circ$: góc tới tại $AC$ là $i_1 = 36^\circ$, tại $AB$ là $i_2 = 2A = 72^\circ$; tổng các góc trong hai tam giác đều đúng $180^\circ$ và tia cuối cùng vuông góc với $BC$ — phù hợp đề bài. (Để có phản xạ toàn phần ở cả hai mặt thì chiết suất thuỷ tinh phải đủ lớn: $n \ge \dfrac{1}{\sin 36^\circ} \approx 1{,}70$.)

Vậy góc chiết quang $A = 36^\circ$.

Đáp số