Giải Luyện tập 3 trang 16 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Phân tích. Trong một hình thang cân, hai cạnh đáy song song với nhau và nhận *đường trung trực chung* của chúng làm trục đối xứng. Vì $AB$ là một cạnh đáy nên cạnh đáy còn lại chính là $MM'$, và trục đối xứng của hình thang cân này là đường trung trực $d$ của đoạn $AB$.

Lời giải.

Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ (đường thẳng này cố định vì $A$, $B$ cố định).

Vì $A$, $B$, $M$, $M'$ là bốn đỉnh của một hình thang cân nhận $AB$ là một cạnh đáy nên:

- Cạnh đáy còn lại là $MM'$ và $MM' \parallel AB$.
- Hình thang cân đó nhận đường trung trực chung của hai đáy $AB$ và $MM'$ làm trục đối xứng. Đường trung trực đó đi qua trung điểm của $AB$ và vuông góc với $AB$, nên nó chính là $d$.

Phép đối xứng trục $Đ_d$ qua trục đối xứng của hình thang cân biến hình thang thành chính nó, đồng thời biến đỉnh thành đỉnh. Vì $Đ_d$ biến đáy $AB$ thành chính nó (đổi chỗ $A \leftrightarrow B$) nên nó cũng biến đáy $MM'$ thành chính nó, tức là
$$Đ_d(M) = M'.$$

Vậy $M'$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trục $d$.

Gọi $\Delta' = Đ_d(\Delta)$ là ảnh của đường thẳng $\Delta$ qua phép đối xứng trục $d$. Vì phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, nên $\Delta'$ là một đường thẳng cố định (do $\Delta$ và $d$ đều cố định).

Khi $M$ thay đổi trên $\Delta$ thì
$$M' = Đ_d(M) \in Đ_d(\Delta) = \Delta'.$$

Do giả thiết $\Delta$ không phải là đường trung trực của $AB$ (tức $\Delta \neq d$) và $M$ không thuộc đường thẳng $AB$ nên $M \neq M'$, bốn điểm $A$, $B$, $M$, $M'$ thực sự tạo thành hình thang cân.

Vậy điểm $M'$ luôn thay đổi trên đường thẳng cố định $\Delta'$ — là ảnh của $\Delta$ qua phép đối xứng trục $d$ (đường trung trực của $AB$). $\blacksquare$

Đáp số