Giải Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Phân tích bài toán. Phép đối xứng tâm $O$ (tâm của mảnh giấy hình chữ nhật) biến mảnh giấy thành chính nó, vì hình chữ nhật có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo, chính là $O$. Chiến thuật của Hoa là: nếu Hưng đặt xu tại $M$ thì Hoa đặt xu tại $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$. Ta chứng minh với chiến thuật này Hoa luôn đặt được xu sau mỗi lượt của Hưng, do đó Hoa là người thắng cuộc.

Bước 1. Nước đi đầu tiên của Hoa luôn hợp lệ. Hoa đặt xu đầu tiên tại tâm $O$. Vì $O$ là tâm mảnh giấy nên đồng xu đặt ở đây nằm hoàn toàn trên giấy (giấy đủ rộng để chứa một đồng xu ở giữa). Nước đi này hợp lệ.

Bước 2. Sau mỗi lượt của Hoa, hình các xu trên giấy luôn đối xứng qua $O$. Thật vậy, xu đầu tiên ở $O$ đối xứng với chính nó qua $O$. Mỗi khi Hưng đặt một xu tại $M$, Hoa đáp lại bằng xu tại $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$. Vì phép đối xứng tâm $O$ biến đường tròn tâm $M$ thành đường tròn tâm $M'$ có cùng bán kính, nên sau cặp nước đi này, toàn bộ hình gồm các đồng xu vẫn nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Bước 3. Hoa luôn có chỗ để đặt xu sau mỗi lượt của Hưng. Giả sử đến lượt Hưng, khi đó hình các xu đang đối xứng qua $O$ (theo Bước 2). Hưng đặt được một xu tại $M$, tức là đồng xu tâm $M$ nằm hoàn toàn trên giấy và không chồng lên xu nào trước đó. Xét điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$:

a) Phép đối xứng tâm $O$ biến giấy thành chính nó, nên đồng xu tâm $M'$ cũng nằm hoàn toàn trên giấy.

b) Trước khi Hưng đặt xu ở $M$, hình các xu đối xứng qua $O$ và vị trí $M$ còn trống; do tính đối xứng, vị trí $M'$ cũng còn trống (chưa bị xu nào chiếm). Hơn nữa $M' \ne M$ vì $M \ne O$ (chỗ $O$ đã có xu đầu tiên). Vậy Hoa đặt được xu tại $M'$ mà không chồng lên xu nào.

Do đó mỗi khi Hưng vừa đặt xong một xu, Hoa luôn thực hiện được nước đáp lại tại $M'$.

Bước 4. Kết luận. Diện tích mảnh giấy hữu hạn nên số xu đặt được là hữu hạn, trò chơi phải kết thúc. Theo Bước 3, Hoa không bao giờ là người bị kẹt: sau mỗi nước đi của Hưng, Hoa luôn còn chỗ đặt. Vậy người đầu tiên không còn chỗ đặt xu phải là Hưng.

Hoa là người thắng cuộc.

Đáp số