Giải Hoạt động 1 trang 56 Chuyên đề Tin học 12

Lời giải

Nhắc lại kiến thức: Với bài toán xác suất cổ điển (các kết quả đồng khả năng), ta tính
$$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)},$$
trong đó $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và $n(\Omega)$ là số kết quả có thể xảy ra của phép thử. Để đếm $n(A)$ và $n(\Omega)$, trong môn Toán em đã dùng các hàm (công thức) tổ hợp sau.

a) Giai thừa: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ (quy ước $0!=1$). Đây là cơ sở của các công thức còn lại.

*Ví dụ:* Xếp ngẫu nhiên $5$ bạn thành một hàng thì có $5!=120$ cách.

b) Hoán vị: số cách sắp xếp thứ tự $n$ phần tử khác nhau là
$$P_n=n!.$$

*Ví dụ:* Xếp ngẫu nhiên $3$ bạn A, B, C thành hàng, xác suất để A đứng đầu: $n(\Omega)=P_3=3!=6$, số cách để A đứng đầu là $P_2=2!=2$, nên $P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

c) Chỉnh hợp: số cách chọn có thứ tự $k$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau $(0\le k\le n)$ là
$$A_n^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}.$$

*Ví dụ:* Từ $5$ học sinh chọn $2$ bạn trao giải Nhất và Nhì (phân biệt thứ tự) có $A_5^{2}=\dfrac{5!}{3!}=20$ cách.

d) Tổ hợp: số cách chọn không kể thứ tự $k$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau $(0\le k\le n)$ là
$$C_n^{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$

*Ví dụ:* Một hộp có $10$ quả bóng gồm $6$ quả đỏ và $4$ quả xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả, tính xác suất lấy được cả $3$ quả đỏ. Ta có
$$n(\Omega)=C_{10}^{3}=120,\qquad n(A)=C_{6}^{3}=20,$$
nên
$$P(A)=\dfrac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167.$$

Kết luận: Các hàm tổ hợp em đã học trong môn Toán để tính xác suất trong những bài toán đơn giản là giai thừa $n!$, hoán vị $P_n$, chỉnh hợp $A_n^{k}$ và tổ hợp $C_n^{k}$. Trong đó tổ hợp $C_n^{k}$ được dùng nhiều nhất vì phần lớn phép lấy mẫu là chọn đồng thời (không kể thứ tự).

Đáp số