Xem trước nội dung
LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/
SỐPHỨC
BÀI1. DẠNG ĐẠI SỐCỦA SỐPHỨC VÀ CÁC PHÉP
TOÁN TRÊN SỐPHỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b ∈R, i2 = −1 được gọi là một sốphức. Đối với sốphức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i gọi là đơn vịảo. Tập sốphức C = {a + bi|a, b ∈R, i2 = −1}. Tập sốthực R ⊂C.
VÍ DỤ1. Sốphức z = 3 −2i có phần thực là . . . . . . phần ảo là . . . . . .
Lời giải. Sốphức z = 3 −2i có phần thực là 3 phần ảo là −2. □
!
Đặc biệt
Khi phần ảo b = 0 ⇔z = a ∈R ⇔z là sốthực.
Khi phần thực a = 0 ⇔z = bi ⇔z là sốthuần ảo.
Số0 = 0 + 0i vừa là sốthực, vừa là sốảo.
2. Hai sốphức bằng nhau
Hai sốphức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a + bi = c + di ⇔
® a = c b = d , với a, b, c, d ∈R.
VÍ DỤ2. Tìm các sốthực x, y biết rằng (2x + 1) + (3y −2)i = (x + 2) + (y + 4)i.
Lời giải.
Từđịnh nghĩa ta có
® 2x + 1 = x + 2 3y −2 = y + 4 ⇔
® x = 1 y = 3. □
3. Biểu diễn hình học của sốphức
Điểm M(a; b) trong hệtrục tọa độvuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của sốphức z = a + bi.
VÍ DỤ3. Quan sát hình vẽbên cạnh, ta có
1 Điểm A biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .
2 Điểm B biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .
3 Điểm C biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .
4 Điểm D biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .
x
y
3
A 2
2
B −3
−3
C −2
3 D
O
Lời giải. Ta có
"Toán học là môn thểdục của trí tuệ"–Isocrates Trang 1
PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX
1 Điểm A biểu diễn cho sốphức z = 3 + 2i.
2 Điểm B biểu diễn cho sốphức z = 2 −3i.
3 Điểm C biểu diễn cho sốphức z = −3 −2i.
4 Điểm D biểu diễn cho sốphức z = 3i.
□
4. Mô-đun của sốphức
Giảsửsốphức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ.
1 Độdài của véc-tơ # » OM được gọi là mô-đun của sốphức z và được ký hiệu là |z|. Khi đó, |z| = # » OM = |a + bi| = √
a2 + b2.
2 Kết quả, với mọi sốphức z ta có
(a) |z| ≥0 và |z| = 0 ⇔z = 0.
(b) z · ¯z = |z|2.
(c) |z| = |¯z|.
(d) |z1 · z2| = |z1| · |z2|.
(e) z1 z2
= |z1|
|z2|.
x
y
a
M b
O
VÍ DỤ4. Tìm mô-đun của các sốphức sau
1 z = 3 −2i ⇒|z| = |3 −2i| = »
. . . . . . . . . = . . . . . .
2 z = 1 + i √
3 ⇒|z| = |1 + i √
3| = »
. . . . . . . . . = . . . . . .
Lời giải. Ta có
1 |z| = |3 −2i| = p
32 + (−2)2 = √
13.
2 |z| = |1 + i √
3| = »
12 + ( √
3)2 = 2.
□
5. Sốphức liên hợp
Định nghĩa 2. Cho sốphức z = a + bi, (a, b ∈R). Ta gọi a −bi là sốphức liên hợp của z và được ký hiệu là ¯z = a −bi.
VÍ DỤ5.
1 Cho z = −3 −2i ⇒¯z = . . . . . . . . .
2 Cho ¯z = 4 + 3i ⇒z = . . . . . . . . .
Lời giải.
1 Cho z = −3 −2i ⇒¯z = −3 + 2i.
2 Cho ¯z = 4 + 3i ⇒z = 4 −3i.
□
Trang 2 "Toán học là môn thểdục của trí tuệ"–Isocrates
LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/
Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và ¯z đối xứng với nhau qua trục Ox.
Từđịnh nghĩa ta có các kết quảsau
2 ¯¯z = z; |¯z| = |z|.
2 z1 ± z2 = ¯z1 ± ¯z2.
2 z1 · z2 = ¯z1 · ¯z2.
2
Åz1
z2
ã = ¯z1
¯z2 .
2 z là sốthực ⇔z = ¯z.
2 z là sốthuần ảo ⇔z = −¯z.
x
y
a
z = a + bi b
¯z = a −bi −b
O
6. Cộng, trừ, nhân, chia sốphức
Cho hai sốphức z1 = a + bi và z2 = c + di.
1 Phép cộng và phép trừhai sốphức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừđa thức.
Phép cộng: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Phép trừ: z1 −z2 = (a + bi) −(c + di) = (a −c) + (b −d)i. Sốphức đối của của sốphức z = a + bi là −z = −a −bi. Do đó, z + (−z) = (−z) + z = 0.
VÍ DỤ6. Cho hai sốphức z1 = 5 + 2i và z2 = 3 + 7i. Tìm phần thực, phần ảo và mô-đun của sốphức w = z1 + z2 và sốphức w′ = z2 −z1.
Lời giải.
Ta có w = (5 + 2i) + (3 + 7i) = 8 + 9i và w′ = (3 + 7i) −(5 + 2i) = −2 + 5i. Như thế
• w có phần thực là 8, phần ảo là 9 và mô-đun là |w| = √
82 + 92 = √
145, • w′ có phần thực là −2, phần ảo là 5 và mô-đun là |w′| = p
(−2)2 + 52 = √
29.
□
2 Phép nhân sốphức được …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
