Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 năm 2019 2020 trường Lê Quý Đôn Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12

MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020

Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (4 điểm).

Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x mx m      cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

, , A B C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

, , A B C bằng 3.

Câu 2 (6 điểm).

a. Giải phương trình:   2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cos . x x x x x x     

b. Giải hệ phương trình:   3 2

2

2 2 1. 3 2 0

x y x xy

x x y

          

Câu 3 (4 điểm).

Cho dãy số   n u xác định bởi

1 *

2 1

2020

, . 2019 2 2 n n n

u n u u u 

        



Đặt

1 2

1 1 1 ... 2 2 2 n

n S u u u        . Tính lim . n S

Câu 4 (4 điểm).

Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi , M N là hai điểm thay

đổi lần lượt thuộc các cạnh , AB AC sao cho mặt phẳng   SMN luôn vuông góc với

mặt phẳng   ABC . Đặt , . AM x AN y  

a. Chứng minh rằng 3 . x y xy  

b. Tìm , x y để SMN  có diện tích bé nhất, lớn nhất.

Câu 5 (2 điểm).

Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 3 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức.

    3 2 . 3 6 1 1 1 abc abc P ab bc ca a b c         

----------------------- HẾT -----------------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

1

Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x mx m      cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

, , A B C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

, , A B C bằng 3.

4

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

3 2 3 2 0 (1) x x mx m      có 3 nghiệm phân biệt.

3 2 2 3 2 0 ( 1)( 2 2) 0 x x mx m x x x m           

1,0

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 2 2 2 0 x x m      (2) có hai nghiệm phân

biệt khác 1 (*) ' 3 0 3 1 2 2 0 m m m            

.

1,0

Gọi 1 2 , x x là nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại giao điểm , , A B C là:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 '(1) '( ) '( ) 3( ) 6 6( ) 3 3 9 3 y y x y x x x x x x x m m           

1,5

Tổng HSG của các tiếp tuyến bằng 3 9 3 3 2 m m      (t/m đk (*)).

ĐS: 2 m 

0.5

2

a

Giải phương trình:   2sin 2 cos2 2 2 sin 2 .cos sin 2cos x x x x x x     

1,0

   

      2

os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2

2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1

c

c x c c c

  

   

1,0

   



  

2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2

1 osx = 1 2

2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2

c c c

c

     

  

  

0.5

+ (1) 2 4 x k     

+ (2) 2 4 4 x k x k           ,

Kết luận phương trình có 3 họ nghiệm : ………..

0.5

b

Giải hệ phương trình:   3 2

2

2 2 1

3 2

x y x xy

x x y

         

.

3

Viết lại hệ:    2

2

2 1

2 2

x x x y

x x x y

    

    

1,0

Đặt 2 2 , u x x v x y     . Dễ có: 1 u .

Hệ trở thành: . 1

2 u v u v     

0.5

Suy ra: 1 1 u v

   

0.5

Ta có

2 2 1 1 x x x y

     

0.5

1 0 x

y

    

0.5

3

Cho dãy số  n u xác định bởi:

1 *

2 1

2020

, 2019 2 2 n n n

u n u u u 

        



Đặt

1 2

1 1 1 ... 2 2 2 n

n S u u u        . Tính:lim n S .

4

Ta chứng minh * 1, (1) n u n   bằng phương pháp qui nạp toán học.

Với 1

2020 1, 1 (1) 2019 n u    đúng với 1 n  .

Giả sử (1) đúng với ( 1) n k k   ta có   1 ku gtqn  . Ta phải chứng minh (1) đúng với

1 n k   tức là phải chứng minh 1 1 ku  .

Thật vậy

2 2 2

1 1 1 2 2( 1) 1 1 1 0 1 0 1. 2 2 2 2

k k k k k k k k u u u u u u u u               

Theo nguyên lý qui nạp toán học ta có * 1, n u n  

Mặt khác 2 * 1 0, n n n n u u u u n      vì dãy số 1 nu  nên dãy số   n u là …