Ứng dụng của tích phân Lê Bá Bảo

Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Chủ đề 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍNH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Ứng dụng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. LÝ THUYẾT

Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  f x liên tục trên đoạn

;a b    , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b   được tính theo công thức:  d

b

a S f x x 

(1)

Minh họa các dạng thường gặp:

 0, ; . f x x a b       0, ; . f x x a b       f x không mang 1 dấu trên

; . a b    

d

b

a S f x x 

d

b

a S f x x       

  d d

c b

a c S f x x f x x         

Lưu ý:

Bằng cách xem x là hàm của biến y , tức là  x g y  , diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  x g y  liên tục trên

đoạn ;a b    , trục tung và hai đường thẳng , y a y b   được tính

theo công thức:  d

b

a S g y y  (2)

Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số  f x ,  g x liên tục

trên ;a b     và hai đường thẳng , x a x b   được tính theo công thức:   d

b

a S f x g x x    (3)

(H)

O

f(x) y

x b a

a b

x y

f(x)

O

(H)

(H)

c

f(x)

a

b

y

x

O

(H)

O

a

b

y

x

g(y)

Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo

Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing

Minh họa các dạng thường gặp:

  , ; . f x g x x a b        , ; . f x g x x a b        , ; ; f x g x x a c     

    , ; ; . f x g x x c b a c b       

 d

b

a S f x g x x       

 d

b

a S g x f x x       

    d d

c b

a c S f x g x x g x f x x              

Lưu ý:

Bằng cách xem x là hàm của biến y , diện tích S của hình phẳng

giới hạn bởi các đồ thị hàm số   , x f y x g y   liên tục trên

đoạn ;a b     và hai đường thẳng , y a y b   được tính theo công

thức:   d

b

a S f y g y y    (4)

Bài toán 3: Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi

phần ta có thể tích theo công thức (1), (2), (3) và (4).

Minh họa các dạng thường gặp:

  , ; ; f x h x x a c     

    , ; ; . g x h x x c b a c b       

  , ; ; f y g y y a c     

    , ; ; . f y h y y c b a c b       

    d d

c b

a c S f x h x x g x h x x              

    d d

c b

a c S f y g y y f y h y y              

(H)

g(x)

O a b

f(x)

x

y

(H)

g(x)

O a b

f(x)

x

y

(H)

c a b

g(x)

f(x) y

O

x

(H)

x

y

O

g(y) f(y)

b

a

y

x

h(x)

g(x) f(x)

O c a b

(H 2) (H 1)

(H 1)

(H 2)

b

a

c

O

f(y) g(y)

h(y)

x

y

Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế

II. PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chưa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ). +) Tính chất: Hàm số  y f x  liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) và , , a b c là ba số bất

kì thuộc K. Khi đó, ta có:    d d d

b c b

a a c f x x f x x f x x     

Chú ý: Khi áp dụng công thức (3):   d

b

a S f x g x x    , ngoài việc khử dấu GTTĐ như

phương pháp đã trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau: Bước 1: Giải phương trình   0 f x g x   trên ;a b    , giả sử có các nghiệm

   , ; ; . c d a b a c d b     Khi đó,   f x g x  không đổi dấu trên các đoạn ; ; ; ; ; . a c c d d b            

Tức là:

Bước 2:         d d d d

b c d b

a a c d S f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x            

      d d d

c d b

a c d f x g x x f x g x x f x g x x                      .

Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả.

III. BÀI …