Tập hợp biểu diễn số phức Trần Văn Toàn

Mục lục

Chương 1. Sốphức 2 1.1 Tập hợp biểu diễn sốphức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Vịtrí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chương 2. Tiếp tuyến 31 2.1 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Hàm bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

Chương 1 Sốphức

1.1 Tập hợp biểu diễn sốphức

Tính chất 1.1

Cho hai sốphức z và z1. Gọi M là điểm biểu diễn cho sốphức z, A là điểm biểu diễn cho sốphức z1. Đại lượng |z −z1| là độdài đoạn thẳng AM.

Chứng minh. Gọi M(x, y), A(x1, y1). Ta có

|z −z1| = q

(x−x1)2 +(y−y1)2.

Tính chất 1.2

Cho sốphức z1 = a+ bi, tập hợp các điểm biểu diễn sốphức z thoả|z −z1| = R là đường tròn tâm I(a;b), bán kính R.

Chứng minh. Gọi M(x, y). Từgiảthiết ta có

(x−a)2 +(y−b)2 = R2.

Ví dụ1.1

Tập hợp các điểm biểu diễn cho sốphức z thoả|z +2−i| = 3 là đường tròn tâm (−2,1) bán kính R = 3.

Ví dụ1.2

Tập hợp các điểm biểu diễn cho sốphức z thoả|z + i| = 1 là đường tròn tâm (0,−1) bán kính R = 1.

2

1.1. Tập hợp biểu diễn sốphức 3

Ví dụ1.3

Cho sốphức z thoả|z +3+ i| = 5. Tính giá trịcủa biểu thức

E = |z +7−2i|2 +|z +6+5i|2 +|z −3i|2 +|z −1+4i|2.

A

C

B

T

D

O x

y

Lời giải. Gọi M là điểm biểu diễn cho sốphức z, thì M thuộc đường tròn tâm T(−3,−1), bán kính R = 5. Xét các điểm A(−7,2), B(−6,−5), C(1,−4), D(0,3). Ta có

E = AM2 +BM2 +CM2 + DM2.

Đểý rằng, ABCD là hình vuông có các đỉnh thuộc đường tròn, nên

E = AM2 +BM2 +CM2 + DM2 = 8R2 = 200.

♦

Lời bình. Cho đa giác đều A1A2... An nội tiếp trong đường tròn (C ) có tâm O, bán kính R. Với M là điểm tuỳý trong mặt phẳng chứa đường tròn, ta có

A1M2 + A2M2 +ããã+ AnM2 = n(R2 +OM2).

♣

4 Chương 1. Sốphức

Ví dụ1.4

Cho sốphức z thoả|z +4−i| = 5 p

2. Tính giá trịcủa biểu thức

E = |z +12+5i|2 +|z +10−9i|2 +|z −4−7i|2 +|z −2+7i|2.

B

C

T

A

D

O x

y

−12

−5

−10

9

4

7

2

−7

−4

1

Lời giải. Gọi M là điểm biểu diễn cho sốphức z, thì M thuộc đường tròn (C ) có tâm T(−4,1), bán kính R = 5 p

2.

1.1. Tập hợp biểu diễn sốphức 5

Xét các điểm A(−12,−5), B(−10,9), C(4,7), C(2,−7). Ta có

E = AM2 +BM2 +CM2 + DM2.

Đểý rằng, ABCD là hình vuông ngoại tiếp đường tròn (C ), nên

E = AM2 +BM2 +CM2 + DM2 = 3AB2 = 600.

♦

Tính chất 1.3

Cho các sốphức z, z1, z2 thoả|z −z1| = R. Tập hợp biểu diễn của sốphức w = z + z2 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho sốphức z1 + z2 và bán kính bằng R.

Chứng minh. Ta có w = z + z2, nên

w−z2 −z1 = z −z1.

Do đó

|w−z2 −z1| = |z −z1|.

Hay

|w−(z1 + z2)| = R.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn sốphức w là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 và bán kính bằng R.

Ví dụ1.5

Cho sốphức z thoả|z+2−3i| = 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho sốphức w = z+3+i.

Lời giải. Ta viết lại giảthiết thành

|z −(−2+3i)| = 3.

Tập hợp các điểm biểu diễn cho sốphức w = z +3+ i là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho sốphức

(−2+3i)+(3+ i) = 1+4i.

Tức có tâm là điểm I(1,4). Bán kính của đường tròn là R = 3. ♦

Ví dụ1.6

Cho sốphức z thoả|z−i| = 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho sốphức w = z−5+2i.