Bài giảng cực trị của hàm số Phùng Hoàng Em

CHƯƠNG

1 KHẢO SÁT HÀM SỐVÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài 2. CỰC TRỊCỦA HÀM SỐ

A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

BUỔI SỐ3

{ DẠNG 1. Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) đểtìm cực trịcực hàm số

Phương pháp giải.

1 Giải phương trình y′ = 0 tìm các nghiệm xi và những điểm xj mà đạo hàm không xác định;

2 Đưa các nghiệm xi và xj lên bảng xét dấu và xét dấu y′;

3 Lập bảng biến thiên và nhìn "điểm dừng":

✓"Dừng" trên cao tại điểm (x1;y1) thì x1 là điểm cực đại của hàm số; y1 là giá trịcực đại (cực đại) của hàm số; (x1;y1) là tọa độđiểm cực đại của đồthị.

✓"Dừng" dưới thấp tại điểm (x2;y2) thì x2 là điểm cực tiểu của hàm số; y2 là giá trịcực tiểu (cực tiểu) của hàm số; (x2;y2) là tọa độđiểm cực tiểu của đồthị.

x

y

O x2

y2

x1

y1

Điểm cực tiểu (x2;y2) của đồthị

Điểm cực đại (x1;y1) của đồthị Giá trịcực đại y1 của hàm số

Điểm cực tiểu x2 của hàm số

Giá trịcực tiểu y2 của hàm số

Điểm cực đại x1 của hàm số

# Ví dụ1. Tìm điểm cực tiểu của hàm sốy = 1

3x3 −2x2 +3x+1. A. x = −1. B. x = 3. C. x = −3. D. x = 1.

# Ví dụ2. Điểm cực tiểu của đồthịhàm sốy = x3 −x2 +2 là

A. Å2

3; 50

27

ã . B. (0;2). C. Å50

27; 2

3

ã . D. (2;0) .

GV: Phùng V. Hoàng Em Trang 1

# Ví dụ3. Hàm sốy = 1

2x4 −3x2 −3 đạt cực đại tại

A. x = 0. B. x = − √

3. C. x = √

3. D. x = ± √

3.

# Ví dụ4. Điểm cực tiểu của đồthịhàm sốy = x4 −1 là A. (−1;−1). B. (0;−1). C. (−1;0). D. (1;−1).

# Ví dụ5. Hàm sốy = x3 −3x2 +2 có đồthịlà (C). Gọi A, B là các điểm cực trịcủa (C). Tính độdài đoạn thẳng AB. A. AB = 2 √

5. B. AB = 5. C. AB = 4. D. AB = 5 √

2.

# Ví dụ6. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trịcủa đồthịhàm sốy = x3 −3x2 +1 là A. y = −2x−1. B. y = −2x+1. C. y = 2x−1. D. y = 2x+1.

# Ví dụ7. Cho hàm sốy = −1

4x4+ 3

2x2−5

4 có đồthị(C). Tính diện tích của tam giác tạo thành

từ3 điểm cực trịcủa đồthị(C).

A. S = 5 √

3 4 . B. S =

√

3 4 . C. S = √

3. D. S = 9 √

3 4 .

# Ví dụ8. Cho hàm sốy = 3x4 −4x3 −6x2 + 12x + 1. Gọi M (x1;y1) là điểm cực tiểu của đồ thịcủa hàm sốđã cho. Tính tổng x1 +y1. A. 5. B. −11. C. 7. D. 6.

{ DẠNG 2. Xác định cực trịkhi biết bảng biến thiên hoặc đồthị

Phương pháp giải.

✓Loại 1: Cho bảng biến thiên hoặc đồthịhàm y = f(x). Ta nhìn "điểm dừng":

"Dừng" trên cao tại điểm (x1;y1) thì x1 là điểm cực đại của hàm số; y1 là giá trịcực đại (cực đại) của hàm số; (x1;y1) là tọa độđiểm cực đại của đồthị x

"Dừng" dưới thấp tại điểm (x2;y2) thì x2 là điểm cực tiểu của hàm số; y2 là giá trịcực tiểu (cực tiểu) của hàm số; (x2;y2) là tọa độđiểm cực tiểu của đồthị y

✓Loại 2: Cho đồthịhàm f ′(x). Ta thực hiện tương tựnhư ởphần đồng biến, nghịch biến.

# Ví dụ9. Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên như sau. Cực tiểu (giá trịcực tiểu)của hàm sốlà A. 4. B. 2. C. −1. D. 3.

x y′

y

−∞ −1 2 +∞ + 0 − 0 +

−∞ −∞

4

3

+∞ +∞

GV: Phùng V. Hoàng Em Trang 2

# Ví dụ10. Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm sốđạt cực đại tại x = 0 và x = 1. B. Giá trịcực tiểu của hàm sốbằng −1. C. Giá trịcực đại của hàm sốbằng 2. D. Hàm sốđạt cực tiểu tại x = −2.

x y′

y

−∞ −2 0 1 +∞ − 0 + + 0 −

+∞ +∞

−1 −1

2

−∞

2

−∞ −∞

# Ví dụ11. Cho hàm sốy = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm f ′(x) = (x −1)(x −2)2(x − 3)2017. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm sốđồng biến trên các khoảng (1;2) và (3;+∞). B. Hàm sốcó 3 điểm cực trị. C. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (1;3). D. Hàm sốđạt cực đại tại x = 2, đạt cực tiểu tại x = 1 và x = 3.

# Ví dụ12. Cho hàm sốy = f(x) xác định và có đạo hàm f ′(x). Biết rằng hình vẽdưới đây là đồthịcủa hàm sốf ′(x). Khẳng định nào sau đây là đúng vềcực trị của hàm sốf(x)? A. Hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại x = −2. B. Hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại x = 1. C. Hàm sốf(x) đạt cực đại tại x = −1. D. Hàm sốf(x) đạt cực đại tại x = −2.

x

y O −2

−4

1

# Ví dụ13. Tìm sốđiểm cực tiểu trên đoạn [−2;4] của hàm sốy = f(x) biết hàm sốy = f ′(x) có đồthịnhư hình vẽbên. A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. x

y

−2 4 O

f ′(x)

# Ví dụ14. Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồthịcủa hàm số y = f ′(x) như …