Lý thuyết và bài tập Phương trình mặt phẳng lớp 12 chi tiết

Trang 1/40

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

• Vectơ 0 n ≠  

là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n 

vuông góc với mặt phẳng ( ) α

• Chú ý:

 Nếu n 

là một VTPT của mặt phẳng ( ) α thì kn 

( 0) k ≠ cũng là một VTPT của mặt

phẳng( ) α .

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.  Nếu ,u v 

có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) α thì [ , ] n u v =  

là một VTPT của

( ) α .

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + ≠

 Nếu mặt phẳng ( ) α có phương trình 0 Ax By Cz D + + + = thì nó có một VTPT là

( ; ; ) n A B C 

.

 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và nhận vectơ ( ; ; ) n A B C 

khác 0 

là

VTPT là: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − = .

• Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) α : 0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + ≠

 Nếu 0 D = thì mặt phẳng ( ) α đi qua gốc tọa độ O .

 Nếu 0, 0, 0 A B C = ≠ ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa trục Ox .

 Nếu 0, 0, 0 A B C ≠ = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa trục Oy .

 Nếu 0, 0, 0 A B C ≠ ≠ = thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa trục Oz .

 Nếu 0, 0 A B C = = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc trùng với ( ) Oxy .

 Nếu 0, 0 A C B = = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc trùng với ( ) Oxz .

 Nếu 0, 0 B C A = = ≠ thì mặt phẳng ( ) α song song hoặc trùng với ( ) Oyz .

Trang 2/40

Chú ý:

 Nếu trong phương trình ( ) α không chứa ẩn nào thì ( ) α song song hoặc chứa trục tương

ứng.

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ): 1 x y z a b c + + = α . Ở đây ( ) α cắt các trục tọa độ

tại các điểm ( ) ;0;0 a , ( ) 0; ;0 b , ( ) 0;0;c với 0 abc ≠ .

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

• Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 0 0 (x ; ; ) M y z và mặt phẳng ( ): 0 Ax By Cz D α + + + =

Khi đó khoảng cách từ điểm 0 M đến mặt phẳng ( ) α được tính:

0 0 0 0 2 2 2 | | ( ,( )) Ax By Cz D d M A B C

      

IV. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) 1 1 1 1 : 0 A x B y C z D α + + + = và

( ) 2 2 2 2 : 0. A x B y C z D β + + + =

Góc giữa ( ) α và ( ) β bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , n n α β 

. Tức là:

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

. cos , cos , . .

n n A A B B C C n n n n A B C A B C

α β

α β

α β

+ + α β = = = + + + +

  

V. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 1 điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và song song với 1 mặt

phẳng ( ): 0 Ax By Cz D + + + = β cho trước.

Phương pháp giải Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1. VTPT của ( ) β là ( ) ; ; . n A B C = 

β

2. ( ) α //( ) β nên VTPT của mặt phẳng ( ) α là ( ) ; ; . n n A B C = =  

α β

3. Phương trình mặt phẳng ( ) α : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0. A x x B y y C z z − + − + − =

Cách 2:

1. Mặt phẳng ( ) α //( ) β nên phương trình( ) P có dạng: 0 Ax By Cz D′ + + + = (*), với D D ′ ≠ .

2. Vì ( ) P qua 1 điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z nên thay tọa độ ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z vào (*) tìm được D′ .

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng.

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ các vectơ: , . AB AC 