Chuyên đề Đạo hàm môn Toán lớp 12 đầy đủ chi tiết - Nguyễn Thanh Nguyệt

Tài liệu ôn thi THPT quốc gia

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Thanh Nguyệt 1

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1. Định nghĩa: Cho hàm số  y f x  xác định trên khoảng   ; a b và   0 ; x a b  , đạo hàm

của hàm số tại điểm 0x là

    

0

0 0

0 ' lim x x

f x f x f x x x 

  

1.2. Chú ý:

 Nếu kí hiệu     0 0 0 ; x x x y f x x f x      thì

     

0

0 0 0 0 0 ' lim lim x x x f x x f x y f x x x x         

 Nếu hàm số  y f x  có đạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Ý nghĩa của đạo hàm

2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số  y f x  có đồ thị  C

   0 'f x là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số  y f x  tại   0 0 0 , M x y C  .

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x  tại điểm   0 0 0 , M x y C  là

   0 0 0 ' y f x x x y     .

2.2. Ý nghĩa vật lí:

 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:  s s t  tại thời

điểm 0t là   0 0 ' v t s t  .

 Cường độ tức thời của điện lượng  Q Q t  tại thời điểm 0t là:   0 0 ' I t Q t  .

3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

3.1. Các quy tắc: Cho   ; ; : u u x v v x C   là hằng số.

  ' ' ' u v u v   

     . ' '. '. . . u v u v v u C u C u      

   2 2 '. '. . , 0 u u v v u C C u v v u v u

                  

 Nếu   , . x u x y f u u u x y y u        .

3.2. Các công thức:

   0 ; 1 C x    

       1 1 . . . , , 2 n n n n x n x u n u u n n           

         1 , 0 , 0 2 2

u x x u u x u

       

     sin cos sin . cos x x u u u      

     cos sin cos .sin x x u u u      

Tài liệu ôn thi THPT quốc gia

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Thanh Nguyệt 2

     2 2 1 tan tan cos cos

u x u x u      

     2 2 1 cot cot sin sin

u x u x u       .

Chú ý:

a)

 

'

2 ; ax b ad bc cx d cx d

         

( , , , a b c d là hằng số).

b)

 

2

2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1

2 a b a c b c x x a b a c b c ax bx c a x b x c a x b x c

               

; ( 1 1 1 , , , , , a b c a b c là hằng số).

c)

 

2 1 1 2

1 1 2 1 1 1 1

. 2 . b c a a x a b x a b ax bx c a x b a x b

             

; ( 1 1 , , , , a b c a b là hằng số).

4. Vi phân

4.1. Định nghĩa:

 Cho hàm số  y f x  có đạo hàm tại 0x vi phân của hàm số  y f x  tại điểm 0x là

    0 0 . df x f x x   .

 Cho hàm số  y f x  có đạo hàm  f x  thì tích . f x x   được gọi là vi phân của hàm

số  y f x  .

Kí hiệu:    . . df x f x x f x dx     hay . dy y dx   .

4.2. Công thức tính gần đúng:

      0 0 0 . f x x f x f x x     .

5. Đạo hàm cấp cao

5.1. Đạo hàm cấp 2:

 Định nghĩa:   f x f x       

 Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động  s f t  tại thời điểm 0t là

  0 0 a t f t   .

5.2. Đạo hàm cấp cao: 

    1 , , 2 n n f x f x n n           .

6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

 Khi biết tiếp điểm: Tiếp tuyến của đồ thị   : C y f x  tại   0 0 ; M x y , có phương trình là

   0 0 0 ' . y f x x x y    ( 1 ).

 Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị   : C y f x  có hệ số góc là

k thì ta gọi   0 0 0 ; M x y là tiếp điểm   0 'f x k   (1)

 Giải phương trình (1) tìm 0x suy ra   0 0 y f x 

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng:   0 0 y k x x y   

 Chú ý