Tài liệu tổng hợp điểm biểu diễn số phức

Trang 1/25

CHỦ ĐỀ 3. TẬP HỢP ĐIỂM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Các kiến thức cơ bản về số phức 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức:  • Số phức (dạng đại số) : z a bi = + ( , ) a b∈ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)

• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. • Hai số phức bằng nhau:

Cho hai số phức z a bi;z' a ' b'i(a;a ';b;b' ) = + = + ∈. a a ' z z' b b'

=  = ⇔= 

2. Biểu diễn hình học:

Trong mặt phẳng phức Oxy (Oy là trục ảo; Ox là trục thực), mỗi số phức z a bi;(a;b ) = + ∈ được

biểu diễn bởi điểm M(a;b)

3. Các phép toán về số phức Cho các số phức z a bi;z' a ' bi'(a;b;a ';b' ) = + = + ∈ và số k ∈

a. Cộng, trừ hai số phức • z z' (a a ') (b b')i + = + + +

• z z' (a a ') (b b')i − = − + −

• Số đối của z a bi = + là z a bi −= −− • u biểu diễn z, ' u biểu diễn z' thì ' u u +  biểu diễn z + z’ và ' u u −   biểu diễn z – z’. b. Nhân hai số phức • z.z' (a bi).(a ' b'i) (a.a ' b.b') (a 'b ab')i = + + = − + +

• k.z k.(a bi) ka kbi = + = +

c. Số phức liên hợp

• Số phức liên hợp của z là z a bi = −

• ; ' '; . ' . '; ' '   = ± = ± = =    

z z z z z z z z z z z z z z

; 2 2 . = + z z a b

• z là số thực ⇔ = z z ; z là số ảo ⇔ = − z z d. Môđun của số phức :

• 2 2 z a b = +

• | | 0, ,| | 0 0 ≥ ∀∈ = ⇔ =  z z z z

Trang 2/25

• z.z' z . z' = • z z ;(z' 0) z' z' = ≠ • z z' z z' z z' − ≤ − ≤ +

e. Chia hai số phức:

• 1. 2 1 z z(z 0) z

−= ≠ (z ≠ 0) • 1 2 z' z'.z z'.z z z

− = =

II. Kiến thức về hình học giải tích trong mặt phẳng 1. Các dạng phương trình đường thẳng

- Dạng tổng quát: 0 ax by c + + =

- Dạng đại số: y ax b = +

- Dạng tham số:

0

0

x x at

y y bt

= +   = + 

- Dạng chính tắc: 0 0 x x y y a b − − =

- Phương trình đoạn chắn 1 x y a b + =

- Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ( ) 0 0 0 ; M x y biết hệ số góc k: 0 0 ( ) y k x x y = − +

2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:

2 2 2 ( ) ( ) x a y b R − + − = 2 2 2 2 0 x y ax by c ⇔ + − − + = với 2 2 2 c a b R = + −

Lưu ý điều kiện để phương trình: 2 2 2 2 0 x y ax by c + + + + = là phương trình đường tròn: 2 2 0 a b c + − >

có tâm ( ) , I a b − − và bán kính 2 2 R a b c = + −

3. Phương trình (Elip):

2 2

2 2 1 x y a b + =

Với hai tiêu cự 1 2 1 2 ( ;0), ( ;0), 2 F c F c F F c − =

Trục lớn 2a, trục bé 2b và 2 2 2 a b c = + III. Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm. 1. Phương pháp tổng quát Giả sử số phức z = x +yi được biểu diễn bởi điểm M(x;y) . Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài 2. Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b *) | | | | z a z b MA MB − = − ⇔ = ⇔ M thuộc đường trung trực của đoạn AB

*) | | | | ( , 0, | |) z a z b k k k k a b MA MB k − = − = ∈ > > − ⇔ + =  ( ) M E ⇔ ∈ nhận A, B là hai tiêu điểm và

có độ dài trục lớn bằng k 3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z) Đặt z = x + yi và w = u + vi ( , , , ) x y u v∈

Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v *) Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’ *) Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

- Các kĩ năng biến đổi, thực hiện phép tính về số phức - Kĩ năng biến đổi biểu thức đại số, tính khoảng cách,…