Tài liệu phương trình đường thẳng

Trang 1/42

CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Phương trình đường thẳng:

• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và nhận vectơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = 

với

2 2 2 1 2 3 0 a a a + + ≠ làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là :

( )

0 1

0 2

0 2

;

x x a t

y y a t t

z z a t

= +   = + ∈  = + 



• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và nhận vectơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = 

sao cho

1 2 3 0 a a a ≠ làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là :

0 0 0

1 2 3

x x y y z z a a a − − − = =

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

1 ∆ có vectơ chỉ phương 1a 

2 ∆ có vectơ chỉ phương 2a 

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆. Ta có:

1 2

1 2

. cos .

a a

a a =



 ϕ

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

∆ có vectơ chỉ phương a∆ 

( ) α có vectơ chỉ phương nα 

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và ( ) α . Ta có:

. sin .

a n

a n

∆

∆ =



 α

α ϕ

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆:

∆ đi qua điểm 0 M và có vectơ chỉ phương a∆ 

( )

0 , , a M M d M a

∆

∆

    ∆=





2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1 ∆ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương 1a 

2 ∆ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương 2a 

( )

1 2

1 2

1 2

, . , = ,

a a MN d a a

    ∆∆    

 



IV. Các dạng toán thường gặp:

1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt , A B . Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là AB 

. 2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d .

Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt:

Trang 2/42

• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 1;0;0 a i ∆= =  

• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 0;1;0 a j ∆= =  

• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 0;1;0 a k ∆= =  

Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là d a a ∆=  

, với da 

là vectơ chỉ phương của d 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( ) α .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a nα ∆=  

, với nα 

là vectơ pháp tuyến của ( ) α .

4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng

1 2 , d d (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là 1 2 , a a a ∆   =    

, với 1 2 , a a 

lần lượt là vectơ

chỉ phương của 1 2 , d d . 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( ) α .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là , d a a nα ∆   =    

, với da 

là vectơ chỉ

phương của d , nα 

là vectơ pháp tuyến của ( ) α .

6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng

( ) ( ) , α β ; (( ) ( ) , α β là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là , a n n α β ∆   =    

, với , n n α β 

lần lượt là

vectơ pháp tuyến của ( ) ( ) , α β .

7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β .

Cách giải:

• Lấy một điểm bất kì trên ∆, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý. • Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là , a n n α β ∆   =    

, với , n n α β 

lần lượt là vectơ

pháp tuyến của ( ) ( ) , α β .

8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng

( ) 1 2 1 2 , , d d A d A d ∉ ∉ .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là 1 2 , a n n ∆   =    

, với 1 2 , n n 

lần lượt là vectơ

pháp tuyến của ( ) ( ) 1 2 , , , mp A d mp A d .

9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( ) α và cắt hai đường thẳng

1 2 , d d .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a AB ∆=  

, với ( ) ( ) 1 2 , A d B d α α = ∩ = ∩

10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt d .

Cách …