Tài liệu phương trình mặt cầu

Trang 1/51

R I B A

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: 2/ Các dạng phương trình mặt cầu :

Dạng 1 : Phương trình chính tắc Mặt cầu (S) có tâm ( ) ; ; I a b c , bán kính 0 > R .

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : S x a y b z c R − + − + − =

Dạng 2 : Phương trình tổng quát

2 2 2 ( ) : 2 2 2 0 + + − − − + = S x y z ax by cz d (2)

⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

mặt cầu: 2 2 2 0 a b c d + + − >

• (S) có tâm ( ) ; ; I a b c .

• (S) có bán kính: 2 2 2 = + + − R a b c d . 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu ( ) ; S I R và mặt phẳng ( ) P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( ) P ⇒ = d IH là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ) P . Khi đó :

+ Nếu > d R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

+ Nếu = d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: ( ) P là mặt phẳng

tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm.

+ Nếu : d R < Mặt phẳng ( ) P

cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán

kính 2 2 = − r R IH

P

M2

M1

H

I R

R

I

H P

d

r I'

α

R

I

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Cho mặt cầu ( ) ; S I R và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của I lên ∆. Khi đó :

+ > IH R: ∆ không cắt mặt cầu.

+ = IH R: ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

+ < IH R : ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

R

I

∆ H

H

∆

I

R

H B

A

I

R

Δ

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: ( ) ; S I R ( ) { } ; / ⇒ = = S I R M IM R

Trang 2/51

* Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định: ( ) ; . d I IH ∆=

+ Lúc đó:

2 2 2 2 2   = + = +    

AB R IH AH IH

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( ) α .

( ) 2 2 2 : 2 2 2 0 S x y z ax by cz d + + − − − + =

( ): 0 Ax By Cz D α + + + =

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C). + Tâm ( ) 'I d α = ∩ .

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp( ) α

+ Bán kính ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 ' ' ; R R II R d I α   = − = − 

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ ( ) ; . d I R ∆=

+ Mặt phẳng( ) α là tiếp diện của (S) ⇔ ( ) ( ) ; . d I R α =

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z .

Sử dụng tính chất : ( )

0 0

0 0 α α

 ⊥  ⊥ ⇔  ⊥ ⊥   

    d IM d IM a

IM IM n

Trang 3/51

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp:

* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm ( ) ; ; I a b c .

Bước 2: Xác định bán kính R của (S). Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm ( ) ; ; I a b c và bán kính R .

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) : − + − + − = S x a y b z c R

* Thuật toán 2: Gọi phương trình

2 2 2 ( ) : 2 2 2 0 + + − − − + = S x y z ax by cz d

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được , , , . a b c d ( 2 2 2 0 a b c d + + − > )

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau: a) ( ) S có tâm ( ) 2;2; 3 − I và bán kính 3 = R .

b) ( ) S có tâm ( ) 1;2;0 I và (S) qua ( ) 2; 2;1 − P .

c) ( ) S có đường kính AB với ( ) ( ) 1;3;1 , 2;0;1 − A B .

Bài giải: a) Mặt cầu tâm ( ) 2;2; 3 − I và bán kính 3 = R , có phương trình:

(S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 9 − + − + + = x y z

b) Ta có: ( ) 1; 4;1 3 2 = − ⇒ =  IP IP .

Mặt cầu tâm ( ) 1;2;0 I và bán kính 3 2 = = R IP , có phương trình:

(S): ( ) ( ) 2 2 2 1 2 18 − + − + = x y z

c) Ta có: ( ) 3; 3;0 3 2 AB AB = − − ⇒ = 

.

Gọi I là trung điểm AB 1 3 ; ;1 2 2   ⇒ −     I .

Mặt cầu tâm 1 3 ; ;1 2 2   −     I và bán kính 3 2 2 2 = = AB R , có phương trình:

(S): ( )

2 2 2 1 3 9 1 2 2 2 x y z     + + − + − =        

.

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau: a) (S) qua ( ) …