Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Tỉnh Long An năm 2021 - 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. [HSG-LONG AN 2021-2022] Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2 2

2 2 1 1 (1)

1 (2).

x x y y

x y xy

         

Lời giải

Điều kiện 2 1 y .

Ta có:  2 2 2 2 1 1 1 1 * x x y y x y y x         Bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình hệ quả

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 x xy y y x x y xy x y          .

Tiếp tục bình phương hai vế ta được  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 x y x y x y y x       .

Kết hợp  3 với  2 ta có

  2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2

x y x x y xy x xy x x y y x

               .

Với 0 x  thế vào  2 ta được 1 y , thử lại phương trình (*) ta chỉ nhận nghiệm 1. y 

Với 2 y x  thế vào  2 ta được

2 2 2 2 1 3 2 3 4 22 1 3 3 3 x x x x y         (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   3 2 3 3 2 3 0;1 ; ; ; ; . 3 3 3 3

             

Câu 2. [HSG-LONG AN 2021-2022] a) Cho hàm số 2 1 1 x y x    có đồ thị   H và đường thẳng

   2 : 1 2 d y m x    với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để  d cắt   H

tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1x , 2x sao cho biểu thức   1 2 1 2 12 11 P x x x x    đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị   H và đường thẳng  d là

      2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1

x m x x x m x x x

                 

         2 2 2 2 2 2 1 5 1 0 1 5 1 0 *

1 3 0

m x m x m x m x

x

                      .

Do vậy, đường thẳng  d cắt đồ thị   H tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt     2 2 2 4 2 5 4 1 0 6 21 0 m m m m m           .

Theo định lý Viét ta có

2

2 2

2 2

1

1

5 1 1 1

x x m

x m x

m            

.

Khi đó   2 2

2 2 2 2 12 5 11 12 71 59 12 1 1 1 1

m m P m m m m

           .

Do 2 2 1 1 1 1 1 m m    . Suy ra 2 59 12 71 1 P m     .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 m  .

Vậy 0 m  thì biểu thức P đạt giá trị lớn nhất bằng 71.

Câu 2. [HSG-LONG AN 2021-2022] b) Cho hàm số 2 2 2 4 5 y x m x x      với m là tham số thực. Tìm

tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực tiểu?

Lời giải Hàm số xác định trên . Đạo hàm

  2

2 2 2 4 5 2 2 2 4 5 4 5

x x m x x y m x x x x

            .

Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi 0 y có nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm đó. Ta có

 

2 2 2 4 5 ' 0 2 4 5 2 0 2 x x y x x m x m x             vì 2 x  không là nghiệm của phương

trình.

Xét hàm số 

2 2 4 5 , 2 2 x x f x x x      . Ta có



   

   

2

2

2 2 2

2 2 4 5 1 4 5 2 0 2 2 4 5

x x x x x x f x x x x x x

               .

Các giới hạn:   2 2 lim 2; lim ; lim ( ) ; lim ( ) 2 x x x x f x f x f x f x           .

Bảng biến thiên của hàm số

Ta xét các trường hợp