Bài tập có đáp án chi tiết về lượng giác chọn lọc môn toán của lovebook tổng hợp

1 | Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa

MỘT SỐ BÀI PHÂN TÍCH LƯỢNG GIÁC CHỌN LỌC

Câu 1. Giải phương trình 11 10sinx 10cosx cos2x 2. 1 cosx      [Đề số 10– Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán]

Điều kiện: cosx 1 x k2 .    Phương trình đã cho tương đương với:

+) Với (Vô nghiệm).

+) Với

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

Định hướng: Ở bài toán này mình lại xin đề cập một thủ thuật mới khi giải phương trình lượng giác.

Nhẩm được hai nghiệm đẹp là và (lần lượt ứng với nhân tử

là (sinx + 1), (cosx + 1)), nhưng hai nhân tử này đều không khả quan (thực hiện phép thử sẽ rõ). Không thể áp dụng phương pháp dự đoán nhân tử thông thường, ta chuyển sang dùng phương pháp đoán “mới” bằng ý tưởng ban đầu là quay trục hệ trục Oxy một góc nào đó để đưa về hệ trục mới Ox’y’có thể dễ dàng đoán nghiệm hơn, sau đó dùng kĩ năng đoán nhân tử trong hệ trục Ox’y’. Cuối cùng dùng liên hệ cung giữa hai trục tọa độ Oxy và Ox’y’ để quy nhân tử trong hệ trục Ox’y’ về nhân tử trong hệ trục Oxy. Biểu diễn cặp nghiệm lên đường tròn lượng giác.. Trong bài toán này đó là hai điểm A’, B’. Ta chọn hệ trục Ox’y’ sao cho Ox’ chính là phân giác góc A’OB’. Lúc đó thì so với hệ trục Oxy ban đầu, hệ trục mới đã quay được góc

(theo chiều dương).

Trong hệ trục mới Ox’y’ thì điểm A’ biểu diễn cho nghiệm , còn điểm B’ biểu diễn cho nghiệm . Như vậy,

trong hệ trục Ox’y’ thì chúng ta có thể đoán nhân tử là cosx’ − = 0 (*).

Một điểm bất kì trên đường tròn lượng giác đều biểu diễn cho một giá trị lượng giác. Thế nhưng ở hai hệ trục khác nhau thì các giá trị lượng giác mà điểm đó biểu diễn là khác nhau (ví dụ như điểm A’ biểu diễn cho giá trị  trong

hệ trục Oxy, nhưng nó lại biểu diễn giá trị trong hệ trục Ox’y’). Dựa vào điều này chúng ta có thể đưa ra liên

hệ các giá trị lượng giác được biểu diễn trong các trục tọa độ khác nhau, cụ thể trong bài toán này đó là . Như vậy để có được nhân tử với biến x thì chỉ cần thay liên hệ này vào (*), ta được:

cos − = 0  sinx + cosx + 1 = 0.

Vậy (sinx + cosx + 1) chính là nhân tử mà ta cần dự đoán. Việc còn lại của ta là thử phân tích nhân tử nữa mà thôi! Bài tập tương tự: Giải phương trình: sin2x – 9sinx + 9 – 6cos2x + 3cosx = 0.

2 2 11 10sinx 10cosx (cos x sin x) 2 2cosx     

2 2 sin x 10sinx 9 cos x 8cosx     2 2 sin x 10sinx 25 cos x 8cosx 16      

2 2 (sinx 5) (cosx 4)     sinx 5 cosx 4 sinx cosx 9 sinx 5 4 cosx sinx cosx 1                   9 sinx cosx 9 sin(x ) 1 4 2

     

x k2 x k2 4 4 1 sinx cosx 1 sin x 2 4 2 x k2 x k2 4 4

                                             

x k2 . 2    

x 2   x 

4  

4 

4 

1

2

4 

x' x  

x 4        

1

2

x O

x'

B’

A’

y'

2 | Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa

Bài 2. Giải phương trình (1 −2 sin x) cos x (1 + 2 sin x)(1 −sinx) = √3

Điều kiện: sinx ≠−1

2 và sin x ≠1

Phương trình tương đương với:

cos x −2 sin x cos x = √3(1 −sin x + 2 sin x −2 sin2 x) (𝐐𝟏)

⟺cos x −sin2x = √3 + √3 sin x −2√3 sin2 x (𝐐𝟐)

⟺−√3 sin x + cos x = sin 2x + √3(1 −2 sin2 x) (𝐐𝟑)

⟺−√3

2 sin x + 1

2 cos x = 1

2 sin 2x + √3

2 cos2x

⟺sin (x + 5π

6 ) = sin (2x + π

3)

[

x + 5π

6 = 2x + π

3 + k2π

x + 5π

6 = π −(2x + π

3) + k2π

⟺[

x = π

2 −k2π

x = π

18 + k2π

3

(k ∈Z)

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có họ nghiệm π 2kπ x 18 3   thỏa mãn.

Bình luận: Bài toán trên là một bài toán phương trình lượng giác quen thuộc với sự xuất hiện của √3 và tất nhiên phương pháp √3 lại lên tiếng. Đây là một trong 4 phương pháp giải phương trình lượng giác. Nắm được, gặp bất kì bài nào có dung phương pháp này ta đều giải được. Mọi học sinh đều có thể nắm được. …. Thêm một tư duy giúp ta luôn luôn làm được chứ không phải ăn may làm đươc.

Ý đồ biến đổi BT về dạng kiểu như: Dạng đối xứng: sin a + √3 cosb = sinb + √3 cos b , … Dạng không …