Xem trước nội dung
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm).
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: cos 2sin 3. 2cos sin 4 x x y x x
b) Giải phương trình: cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0 x x x x
Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có , , BC a AB c AC b . Biết góc 0 90 BAC và
2 , , 3 a b c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân. Tính số đo góc , . B C
Câu 3 (1,0 điểm). Cho n là một số nguyên dương. Gọi 3 3 n a là hệ số của 3 3 n x trong khai triển
thành đa thức của 2 ( 1) ( 2) n n x x . Tìm n sao cho 3 3 26 . n a n
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 . Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn:
1
1 1
2019
1 2019
n n n n n
u
u u
. Tìm công thức số hạng
tổng quát và tính lim . n u
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang có
0 2 , , 60 AD a AB BC CD a BAD , SA vuông góc với đáy và 3 SA a . M và I
là hai điểm thỏa mãn 3 0, 4 3 0 MB MS IS ID . Mặt phẳng ( ) AMI cắt SC tại . N
a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng ( ). AMI
b) Chứng minh 0 0 90 ; 90 . ANI AMI
c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) AMI và hình chóp . . S ABCD
Câu 7 (1,0 điểm). Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm tam giác , ' BCD G là trung điểm của
. AG Một mặt phẳng ( ) đi qua ' G cắt các cạnh , , AB AC AD lần lượt tại ', ', '. B C D Tính
. ' ' ' AB AC AD AB AC AD
Câu 8 (1,0 điểm). Cho n số 1 2 3 , , ,..., [0;1] n a a a a . Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 (1 ... ) 4( ... ). n n a a a a a a a a
-------------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI
11 MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019
Đáp án gồm: 05 trang I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điể
m 1 (2,0 điểm) a.(1,0 điểm).
Gọi 0 y là một giá trị của hàm số cos 2sin 3. 2cos sin 4 x x y x x Khi đó phương trình
0
cos 2sin 3 2cos sin 4 x x y x x phải có nghiệm.
Ta có phương trình
0 0 0 cos 2sin 3 ( 2)sin (1 2 )cos 4 3 (1) 2cos sin 4 x x y y x y x y x x
0,5
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2 2 0 0 0 0 0
2 ( 2) (1 2 ) (4 3) 11 24 4 0 2 11
o y y y y y y 0,25
Vậy 2 max 2,min . 11 y y 0,25
b.(1,0 điểm)
Phương trình
2 2 (cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0 (cos sin )(cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0 (cos sin )(sin cos 1) 0
x x x x x x x x x x x x x x x x
cos sin 0 sin cos 1 0 x x x x
0,5
+) Với cos sin 0 tan 1 4 x x x x k . 0,25
+) Với sin cos 1 0 2 sin(x ) 1 2 ; 2 . 4 2 x x x k x k
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
0,25
2 (1,0 điểm)
Ta có: 2 2 3b ac . Do tam giác ABC vuông ta có 0,25
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
