Chuyên đề phương trình lượng giác Đặng Thành Nam

Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác

142 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 3:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

144 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

Phương trình lượng giác cơ bản:

cos os 2

2 sin sin , 2

tan tan

cot cot

x c x k

x k x k x k

x x k

x x k

  

     

  

  

                               



Bài 1. Giải phương trình

  2 2 2cos os 1 os sin 2 2 c x c x        

Lời giải:

Phương trình tương đương với

      2 2 2 2cos os 1 os sin 2 1 os os 1 os sin 2 2 c x c x c c x c x            

    2 2 os os os sin 2 os sin 2 2 c c x c x c x x k          

2 os sin 2 2 os2 2sin 2 4 1 (*) c x x k c x x k       

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  

2 2 2 1 5 1 5 4 1 1 2 0 . 4 4 k k k           

Khi đó phương trình (*) trở thành

  2 os2 2sin 2 1 2cos 4sin cos 0 cos cos 2sin 0 c x x x x x x x x        .

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

145 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

cos 0 1 , ,tan 2 1 2 tan 2

x x k k x x k

    

                

 .

Vậy phương trình có nghiệm là 1 , , ,tan 2 2 x k k k                   .

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

  2 os 3 9 160 800 1 8 c x x x           

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

 

2 2

2 2

3 9 160 800 2 , 9 160 800 3 16 8

3 16 0 3 16 0

25 9 24 40 9 160 800 3 2 3 5

x x x k k x x x k

x k x k

x k x x x k k

           

                      



Vậy với 2 10 , 25 3 5 7 31 k k x k k x x                 

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   7, 31 x x   .

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

  2 2 1 os 2 sin 2 c x x x                 

Lời giải:

Phương trình tương đương với

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

146 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

     

       

 

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 os 2 sin os 2 sin 2 2

2 2 sin 2 sin , 2 2

c x x x c x x x

x x x k x x x k x x x k

    

    

   

                        

               



min 0 3 1 0 0 0 1 4 3 2 2

x k k x k x k k x

                      



Vậy nghiệm của phương trình là 3 1 2 x   .

Bài 4. Tìm nghiệm x thuộc đoạn   0;14 thỏa mãn phương trình

os3 4cos2 3cos 4 0 c x x x    

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

 

3

3 2

4cos 3cos 4 os2 1 3cos 0

4cos 8cos 0 cos 0 , 2

0 14 0 14 0,1,2,3 2

x x c x x

x x x x k k

x k k

 

 

    

        

       



Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x          

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn   1,10  của phương trình

3 sin os cos sin 5 5 2 xc x    

Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình