Ebook tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy trần văn toàn

Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Một sốbài tập bổsung 4 1.1 Khảo sát hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phương trình, bất phương trình, hệphương trình . . . . . . . 8 1.2.1 Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Hệphương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Phương trình có chứa tham số. . . . . . . . . . . . . . . 34 1.2.4 Bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4 Hình học giải tích trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.5 Hình học giải tích trong Không gian . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.6 Hình không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.6.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.6.2 Khối lăng trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.7 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.8 Sốphức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.8.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.9 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.10 Đáp số, hướng dẫn giải bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . 86

Phụlục A. Vài vấn đềkhác 287 A.1 Một kĩ thuật nhân lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

1

2 Mục lục

A.2 Đưa vềhệđồng bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 A.3 Giải phương trình bậc bốn đầy đủbằng máy tính cầm tay . . 298 A.4 Dùng Maple đểchếđề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 A.5 Một sốbài toán với lời giải hay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Chương 1

Một sốbài tập bổsung

1.1 Khảo sát hàm số

Cho hàm số

y = x3 −6x2 +9x−2. (1.1)

1) Khảo sát và và vẽđồthị(C ) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồthịhàm số(C ) tại điểm M biết điểm M cùng với hai điểm cực trịcủa đồthịhàm số(C ) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6.

Cách 1. Hai điểm cực trịcủa (C ) là A(1;2), B(3;−2). Đặt M(a;a3 −

6a2 +9a−2).

Đặt tam giác ABM vào không gian toạđộOxyz, khi đó

A(1;2;0), B(3;−2;0), M(a;a3 −6a2 +9a−2;0).

Sửdụng công thức tính diện tích tam giác trong không gian toạđộ, ta tính được

SABM = 1

2|2a3 −12a2 +22a−12|.

Giải phương trình SABM = 6, ta tìm được a = 4 hoặc a = 0.

Với a = 4, ta có M(4;2). Phương trình tiếp tuyến tại M là y = 9x−34.

Với a = 0, ta có M(0;−2). Phương trình tiếp tuyến tại M là y = 9x−2.

1.1. Khảo sát hàm số 5

• Giảsửhai điểm cực trịcủa (C ) là A(1;2), B(3;−2). Ta có AB =

2 p

5. Phương trình đường thẳng AB là 2x+ y−4 = 0.

• Gọi h là khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng AB, ta có

SMAB = 1

2 · hã AB ⇔h = 6 p

5 .

Như vậy, M sẽthuộc đường thẳng song song và cách đường

thẳng AB một khoảng bằng h = 6 p

5 . Phương trình các đường

thẳng này là

2x+ y+2 = 0, 2x+ y−10 = 0.

Giải hệphương trình

 

 y = x3 −6x2 +9x−2,

2x+ y+2 = 0,

ta được M(0;−2). Phương trình tiếp tuyến tại M là y = 9x−2.

Giải hệphương trình

 

 y = x3 −6x2 +9x−2,

2x+ y−10 = 0,

ta được M(4;2). Phương trình tiếp tuyến tại M là y = 9x−34.

Bài tập 1.1. Cho hàm sốy = x−2

x−1 có đồthị(H ). Chứng minh rằng với

mọi m đường thẳng (dm) : y = −x+m luôn cắt đồthị(H ) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m đểcác tiếp tuyến của (H ) tại A, B tạo với nhau một góc

α thoảcosα = 8

17.

Bài tập 1.2. Cho hàm sốy = x+3

x−2 có đồthị(H ). Chứng minh rằng với

mọi m đường thẳng y = 2x+ m luôn cắt đồthị(H ) tại hai điểm phân biệt

A và B. Gọi d1, d2 là các tiếp tuyến với (H ) tại A và B. Tìm m đểI(2;1) cách đều d1, d2.