Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức cô si trong đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng môn toán

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Lời nói đầu : Thực hiện nhiệm vụnăm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh

Hòa khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên, làm chuyên đềđểxây dựng tài nguyên của tổchuyên

môn.

Chính vì vậy tôi đã thực hiện và làm chuyên đềvề:

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, có một hay hai câu khó đểphân loại thí sinh và

thường có một câu vềbất đẳng thức.

1) Định lý (Bất đẳng thức Cô si) :

Cho n sốthực không âm : a1; a2; ...; an Ta có :

a1 + a2 + ... + an

n ≥ n√a1a2...an

Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi

a1 = a2 = · · · = an

2) Một sốbất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si :

2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức

Với x, y > 0. Ta có :

1 x + 1

y ≥ 4 x + y (1)

1 xy ≥ 4 (x + y)2 (2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = y.

Với x, y, z > 0. Ta có :

1 x + 1

y + 1

z ≥ 9 x + y + z (3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = y = z.

2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức :

x2 + y2 + z2 ≥xy + yz + zx (4)

3 x2 + y2 + z2 ≥(x + y + z)2 (5)

(x + y + z)2 ≥3 (xy + yz + zx) (6)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = y = z.

3) MỘT SỐBÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC :

Bài toán 1 : Đềthi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005

Cho x, y, z là các sốthực dương thỏa mãn :

1 x + 1

y + 1

z = 4

Huỳnh Kim Linh Trang thứ1 trong 12 trang

www.VNMATH.com

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Chứng minh rằng : 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤1.

Lời giải :

Cách 1 :

Áp dụng bất đẳng thức : 1 x + 1

y ≥ 4 x + y

Với x, y > 0, ta được :

8 = 2

1

x + 1

y + 1

z

! =

1

x + 1

y

! +

1

y + 1

z

! + 1

z + 1

x

≥4

1 x + y + 1 y + z + 1 z + x

! (1)

Tương tự 2 1 x+y + 1 y+z + 1 z+x

= 1 x+y + 1 x+z

1 x+y + 1 y+z

1 y+z + 1 z+x

≥4 1 2x+y+z + 1 x+2y+z + 1 x+y+2z

(2)

Từ(1) và (2) suy ra

8 ≥8

1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z

! ⇔ 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤1.

Đẳng thức xảy ra khi

x = y = z = 3

4.

Cách 2 :

Áp dụng bất đẳng thức : 1 x + 1

y ≥ 4 x + y

với x, y > 0, và bất đẳng thức Côsi ta có :

2x + y + z = (x + y) + (x + z) ≥2 √xy + √xz

Do đó : 1 2x + y + z ≤1

2

1 √xy + √xz

! ≤1

8

1 √xy + 1 √xz

!

Tương tự: 1 x + 2y + z ≤1

8

1 √xy + 1 √yz

!

1 x + y + 2z ≤1

8

1 √xz + 1 √yz

!

Cộng vếtheo vế3 bất đẳng thức trên ta được :

1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤1

4

1 √xy + 1 √yz + 1 √zx

! (3)

Huỳnh Kim Linh Trang thứ2 trong 12 trang

www.VNMATH.com

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi

4 = 1

2

1

x + 1

y

! + 1

2

1

y + 1

z

! + 1

2

1

z + 1

x

≥ 1 √xy + 1 √yz + 1 √zx (4)

Từ(3) và (4) suy ra :

1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤1.

Cách 3 : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 sốdương

(x + x + y + z)

1

x + 1

x + 1

y + 1

z

! ≥16

Suy ra 1 2x + y + z ≤1

16

2

x + 1

y + 1

z

!

Tương tự 1 x + 2y + z ≤1

16

1

x + 2

y + 1

z

!

1 x + y + 2z ≤1

16

1

x + 1

y + 2

z

!

Cộng vếtheo vế3 bất đẳng thức trên ta được :

1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤1.

Mởrộng bài toán 1 :

Cho n sốthực dương cho trước :

a1, a2, . . . an

thỏa điều kiện : 1 a1 + 1

a2 + · · · + 1

an = k

Với n > 1 và k > 0 cho trước. Chứng minh rằng :

1 m1a1 + m2a2 + · · · + mnan + 1 m2a1 + · · · + mnan−1 + m1an +· · ·+ 1 mna1 + m1a2 + · · · + mn−1an ≤ k m1 + m2 +

Bài toán 2 : Đềthi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005

Chứng minh rằng : với mọi x ∈R ta có :

12

5

x + 15

4

x + 20

3

x ≥3x + 4x + 5x

Khi nào đẳng thức xảy ra.

Lời giải :

Huỳnh Kim Linh Trang thứ3 trong 12 trang

www.VNMATH.com