Ebok sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức của đặng văn hiếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------- ĐẶNG VĂN HIẾU SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHAN HUY KHẢI

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

1

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Lời cảm ơn 2

Lời nói đầu 3

Chương 1 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 4

1.1 – Bất đẳng thức Côsi 4

1.2 – Sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản 5

1.3 – Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 14

1.4 – Thêm bớt hằng số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 23

1.5 – Thêm bớt biến số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 27

1.6 – Nhóm các số hạng khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 33

Chương 2 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 42

2.1 – Bất đẳng thức Bunhiacopski 42

2.2 – Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng 55

Chương 3 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59

3.1 – Bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59

3.2 – Một số ví dụ minh hoạ 60

Chương 4 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsép 67

4.1 – Bất đẳng thức Trêbưsép 67

4.2 – Một số ví dụ minh hoạ 68

Chương 5 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen 81

5.1 – Định nghĩa hàm lồi 81

5.2 – Điều kiện đủ về tính lồi của hàm số 82

5.3 – Bất đẳng thức Jensen 82

5.4 – Một số ví dụ minh hoạ 84

Tài liệu tham khảo 98

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy đã trực tiếp

giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường

Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp

giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả những

người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

3

LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn nhất trong giáo

trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông. Nó là một đề tài

thường xuyên có mặt trong các đề thi về toán trong các kỳ thi tuyển sinh quốc gia,

cũng như trong các kỳ thi Olympic về toán ở mọi cấp.

Luận văn này dành để trình bày một nhánh của lý thuyết bất đẳng thức – Các bất

đẳng thức thông dụng.

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có 5 chương:

Chương 1 với tiêu đề “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi” dành để trình

bày về bất đẳng thức Côsi.

Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất và có nhiều ứng dụng nhất

trong chứng minh bất đẳng thức. Trong chương này chúng tôi dành để trình bày các

phương pháp cơ bản nhất để sử dụng có hiệu quả bất đẳng thức Côsi.

Chương 2 “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski” trình bày các

ứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng.

Một trong những phương pháp hay sử dụng và có tính hiệu quả để chứng minh

các bất đẳng thức là sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu. Các kết quả này

được trình bày trong chương 3.

Chương 4 dành để trình bày một lớp bất đẳng thức đơn điệu đặc biệt (đó là bất

đẳng thức Trêbưsép).

Sau hết trong chương 5 trình bày một áp dụng lý thú các kết quả của giải tích lồi

để chứng minh bất đẳng thức – đó là sử dụng tính lồi của hàm số để chứng minh

bất đẳng thức.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com