Ebook đẳng thức so sánh và bất đẳng thức môn toán của câu lạc bộ toán học

ĐẲNG THỨC, SO SÁNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

Câu lạc bộToán học: Chương trình bồi dưỡng chuyên đềToán

HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI VÀ SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

Hà Nội, Ngày 11.12.2009

Vào 13h30 thứSáu, Ngày 11.12.2009, Hội Toán học Hà Nội và SởGiáo dục và Đào tạo Hà Nội phối hợp tổchức chương trình bồi dưỡng kiến thức chuyên đềToán cho các cán bộchỉđạo chuyên môn, các thầy giáo, cô giáo đang trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi trên địa bàn Thủđô. Chuyên đềsinh hoạt lần này về

Đẳng thức và bất đẳng thức . Chuyên đềdo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Chủtịch Hội Toán học Hà Nội, trực tiếp giảng dạy.

Kính mời các thầy giáo, cô giáo đang trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi của các quận huyện trên địa bàn Thủđô quan tâm đến dự.

Địa điểm: Phòng Giáo Dục Huyện Thạch Thất.

1

Mục lục

1 Tam thức bậc hai và các vấn đềliên quan 3

2 Một sốđồng nhất thức quan trọng 12

3 Bất đẳng thức Cauchy (dạng thực và phức) 14 3.1 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Tam thức bậc (α) và tam thức bậc (α, β) 17

5 Một sốbất đẳng thức cổđiển liên quan 20

6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 25 6.1 Độgần đều và sắp thứtựdãy cặp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2 Kỹthuật tách và ghép bộsố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3 Thứtựvà sắp lại thứtựcủa bộsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Các giá trịtrung bình 42

8 Bài tập áp dụng 47

2

Chương 1

Tam thức bậc hai và các vấn đềliên quan

Bất đẳng thức cơ bản và cũng là quan trọng nhất trong chương trình đại sốbậc trung học phổ thông chính là bất đẳng thức dạng sau đây

x2 ⩾0, ∀x ∈R. (1.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = 0. Gắn với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau

(x1 −x2)2 ⩾0, ∀x1, x2 ∈R,

hay x2 1 + x2 2 ⩾2x1x2, ∀x1, x2 ∈R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x1 = x2. Bất đẳng thức (1.1) là dạng bậc hai đơn giản nhất của bất đẳng thức bậc hai mà học sinh đã làm quen ngay từchương trình lớp 9. Định lí Viete đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán và ước lượng giá trịcủa một sốbiểu thức dạng đối xứng theo các nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng. Đặc biệt, trong chương trình Đại sốlớp 10, mảng bài tập vềứng dụng định lí (thuận và đảo) vềdấu của tam thức bậc hai là công cụhữu hiệu của nhiều dạng toán ởbậc trung học phổ thông.

Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. Khi đó

af(x) = ax + b

2

2 −∆

4 ,

với ∆= b2 −4ac. Từđẳng thức này, ta có kết quảquen thuộc sau.

Định lý 1. Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0. i) Nếu ∆< 0 thì af(x) > 0, ∀x ∈R.

ii) Nếu ∆= 0 thì af(x) ⩾0 ∀x ∈R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = −b

2a.

iii) Nếu ∆> 0 thì af(x) = a2(x −x1)(x −x2) với

x1,2 = −b

2a ∓

√

∆ 2|a| . (1.2)

Trong trường hợp này, af(x) < 0 khi x ∈(x1, x2) và af(x) > 0 khi x < x1 hoặc x > x2.

3