Ebook 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc của thầy cao minh quang

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang

2

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

♦♦♦♦♦

1. Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 a b b c c a + − + + − + + − ≥ .

Komal

2. [ Dinu Serbănescu ] Cho ( ) , , 0,1 a b c ∈ . Chứng minh rằng

( )( )( ) 1 1 1 1 abc a b c + − − − < .

Junior TST 2002, Romania

3. [ Mircea Lascu ] Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 abc = . Chứng minh rằng

3 b c c a a b a b c a b c + + + + + ≥ + + + .

Gazeta Matematică

4. Nếu phương trình 4 3 2 2 1 0 x ax x bx + + + + = có ít nhất một nghiệm thực, thì

2 2 8 a b + ≥.

Tournament of the Towns, 1993

5. Cho các số thực , , x y z thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1 x y z + + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3 3 x y z xyz + + − .

6. Cho , , , , , a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 x y z + + = . Chứng minh rằng

( )( ) 2 ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c + + + + + + + ≤ + + .

Ukraine, 2001

7. [ Darij Grinberg] Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 4 a b c

a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + .

8. [ Hojoo Lee ] Cho , , 0 a b c ≥. Chứng minh rằng

4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab + + + + + + + + ≥ + + + + + .

Gazeta Matematică

9. Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 abc = . Chứng minh rằng

3 3 3 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + .

JBMO 2002 Shortlist

10. [ Ioan Tomescu ] Cho , , x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )( )( )( )

4 1 1 3 8 9 6 7 xyz x x y y z z ≤ + + + + .

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang

3

Gazeta Matematică

11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 a b c + + = . Chứng minh rằng

( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 5 6 1 a b c a b c + + ≤ + + + .

12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2 , ,..., n x x x ∈ℝ, 2, 0 n a ≥ > sao cho

2 2 2 2 1 2 1 2 ... , ... 1 n n

a x x x a x x x n + + + = + + + ≤ −.

Chứng minh rằng

2 0, , 1,2,..., i a x i n n

    ∈ =    

.

13. [ Adrian Zahariuc ] Cho ( ) , , 0,1 a b c ∈ . Chứng minh rằng

1 4 4 4 b a c b a c b c c a c a a b a b b c + + ≥ − − −

.

14. Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 abc ≤. Chứng minh rằng

a b c a b c b c a + + ≥ + + .

15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , , a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện , a x b y c z a b c x y z + ≥+ ≥+ + + = + + . Chứng minh rằng

ay bx ac xz + ≥ + .

16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 abc = . Chứng minh rằng

3 6 1 a b c ab bc ca + ≥ + + + + .

Junior TST 2003, Romania

17. Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3 3 3 2 2 2

2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + .

JBMO 2002 Shortlist

18. Cho 1 2 , ,..., 0, 3 n x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n x x x = . Chứng minh rằng

1 1 2 2 3 1

1 1 1 ... 1 1 1 1 n n x x x x x x x x + + + > + + + + + .

Russia, 2004

19. [ Marian Tetiva ] Cho , , x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 2 1 x y z xyz + + + = . Chứng minh rằng

a) 1 , 8 xyz ≤

b) 3 , 2 x y z + + ≤