Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2017 tỉnh Quảng Nam khối chuyên toán có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi : TOÁN (Toán chuyên) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 11/7/2017 Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức

( )

3x 2x x x A 4x 1 2x 3 x 2 x 2 (4x 1)

− = − + − + − + −

với x 0 ≥ và 1 x 4 ≠ .

Rút gọn biểu thức A và tìm x để 1 A 3x = .

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn đẳng thức 2 3 9a 6a b 0 − − = . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình ( ) 2 2x x x 3 1 3 0 + + − − = .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 x y x y xy 3

(x y )(xy 1) 4 (x y) .

 + + + − =  + + = − − 

Câu 3 (1,0 điểm). Cho parabol 2 (P) : y x = và đường thẳng (d) : y ax b = + . Tìm a và b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A có hoành độ bằng 2 và khoảng cách từ A đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, điểm E nằm trên cạnh BC (E khác B, E khác C). Hai đường thẳng AE và CD cắt nhau tại F.

a) Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AE AF AB + = .

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD và I là trung điểm của cạnh AD. Điểm M di

động trên đoạn thẳng ID, đường thẳng MG cắt AC tại N. Chứng minh AD AC 3; AM AN + = trong

trường hợp giá trị của tích AM.AN nhỏ nhất, tính tỉ số AM AD .

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, K là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. a) Chứng minh tứ giác BFNK nội tiếp đường tròn và HK vuông góc với AM. b) Lấy điểm L trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (L khác B, L khác C). Gọi P là giao điểm của AL và BE, Q là giao điểm của BL và AD. Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P và Q. Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 P x yz y zx z xy = + + . --------------- HẾT --------------- Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: .........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.

a)

( )

3x 2x x x A 4x 1 2x 3 x 2 x 2 (4x 1)

− = − + − + − + −

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

3x 2x x x 4x 1 2 x 1 x 2 x 2 (4x 1)

3x 2 x 1 2x x 2 x x

x 2 (4x 1)

6x x 3x 2x x 4x x x

x 2 (4x 1)

4x x x x x 2 x 2 (4x 1)

− = − + − − + + −

+ − + + − = + −

+ − − + − = + −

− = = + + −

( )( )

1 x 1 A 3x x x 2 3x 3x x 2

3x x x 2 0

3x x 3x 3x 3 x 2 x 2 0

x 1 3x 3 x 2 0

x 1 0 x 1 (TM)

= ⇔ = ⇒ = + +

⇔ − − =

⇔ − + − + − =

⇔ − + + =

⇔ −= ⇔ =

b) 2 3 2 3 2 9a 6a b 0 (3a 1) b 1 (b 1)(b b 1) − − = ⇔ − = + = + − + Đặt 2 d (b 1; b b 1) = + − +

Ta có:

2

2 2 b 1 d b 2b 1 d 3b d 3(b 1) 3b d 3 d b b 1 d b b 1 d

+  + +   ⇒ ⇒ ⇒ + − ⇒   − + − +   

      

Nên d 1 = hoặc d 3 = mà 2 (3a 1) − không chia hết cho 3 d 1 ⇒ =

2 b 1; b b 1 ⇒ + − + là số chính phương

Đặt 2 2 2 2 b b 1 n (4b 4b 1) 4n 3 (2b 2n 1)(2b 2n 1) 3 − + = ⇒ − + − = −⇔ + − − − = − Lập bảng:

2b + 2b – 1 –3 –1 1 3 2b – 2n – 1 1 3 –3 –1 b 0 1 0 1 n -1 -1 1 1 b 0 ⇒ = hoặc b 1 = Với 2 b 0 (3a 1) 1 a 0 = ⇒ − = ⇒ = Với 2 b 1 (3a 1) 2 = ⇒ − = (loại) Vậy (a; b) (0; 0) = .