Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Website:tailieumontoan.com 1

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán

THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về

phương trình nghiệm nguyên. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này

nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về phương trình nghiệm

nguyên thường được ra trong các kì thi gần đây.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp

con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về các bài toán về phương trình nghiệm nguyên sẽ có thể

giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,

sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Liên hệ file zalo số điện thoại: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website:tailieumontoan.com 2

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất

cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về

chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu

thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách

giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để

giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng tính chất chia hết

Phương pháp xét số dư từng vế

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

 Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên

Hướng dẫn giải

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt thay vào phương trình ta được

Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53 – 17t, 3t) với t là số nguyên tùy ý.

•

•

•

•

•

( ) 3x 17y 159 1 + =

17y 3 y 3 ⇒  

( ) y 3t t Z = ∈ 3x 17.3t 159 x 17t 53. + = ⇔ + =

( ) x 53 17t t Z y 3t

= − ∈  = 

Liên hệ file zalo số điện thoại: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website:tailieumontoan.com 3

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).

Hướng dẫn giải

- Phương pháp 1: Ta có và nên (vì (2,3) = 1).

Đặt thay vào (1) ta được:

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

- Phương pháp 2: Từ (1) ,

Để Mà (13,2) = 1 Đặt

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

Chú ý: Phương trình có dạng với a,b,c là các số nguyên. * Phương pháp giải:

- Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hạng tử.

- Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để một phân số trở thành số nguyên.

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên .

Hướng dẫn giải

Ta có

Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1.

Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để , do (7,23) = 1.

Đặt − = ∈ ⇒ = − 9 y 23t (t Z) y 9 23t

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

2x 13y 156 + =

13y 13  156 13  2x 13 x 13 ⇒  

x 13k (k Z) = ∈ y 2k 12 = − +

x 13k (k Z). y 2k 12

= ∈  = − + 

156 13y 13y x 78 2 2 − ⇒ = = −

13y x Z Z 2 ∈ ⇒ ∈ y 2 ⇒  y 2t(t Z) x 78 13t = ∈ ⇒ = −

x 78 13t(t Z). y 2t

= − ∈  = − 

ax by c + =

23x 53y 109 + =

109 53y 23(4 2y) 17 7y 17 7y x 4 2y 23 23 23 − − + − − = = = − +

17 7y 23 −

17 7y 17 7y 46 46 7(9 y) 46 7(9 y) 2 23 23 23 23 − − + − − − − = = = −+

7(9 y) x 2 2y 23 − = − + 9 y x Z Z 23 − ∈ ⇒ ∈

x 9 …