Giải và phân tích một số câu khó trong đề tham khảo môn toán THPT QG 2018 Lê Phúc Lữ

Hướng tới kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017 – 2018

1

GIẢI VÀ PHÂN TÍCH MỘT SỐ CÂU KHÓ

TRONG ĐỀ THAM KHẢO MÔN TOÁN THPT QG 2018

(Lê Phúc Lữ tổng hợp và giới thiệu)

Xin cám ơn các thầy cô của trung tâm STAR EDUCATION, TP HCM đã giới thiệu các tài liệu để

bài viết này có thể được hoàn tất.

Trong bài viết này, tác giả giải chi tiết (một hoặc hai cách) từ câu 35 đến câu 50 của đề tham khảo môn Toán thi THPT Quốc gia ra ngày 24/01/2018 của Bộ GD-ĐT. Ở một số câu, sẽ có phân tích thêm các nội dung liên quan cũng như đề xuất bài tập tương tự.

  

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 3 3 3sin sin m m x x    có nghiệm thực?

A. 5. B. 7 . C. 3 . D. 2 .

Lời giải. Chọn câu A.

Đặt sin a x  thì phương trình đã cho có nghiệm khi 3 3 3 3 m m a a    có nghiệm [ 1;1]. a 

Đặt 3 3 3 3 b m a b m a      , thay vào phương trình trên, ta có 3 3 3 3 m b a a m b      .

Ta có

3

3

3

3

b m a

a m b

      

, trừ từng vế của hệ thì

3 3 2 2 2 2 3 3 ( )( ) 3( ) ( )( 3) 0 . a b b a a b a ab b b a a b a ab b a b                 

Vì thế nên ta đưa về tìm m để phương trình 3 3 3 3 a m a a a m      có nghiệm [ 1;1] a  .

Khảo sát hàm số 3 ( ) 3 f t t t   trên [ 1;1]  , ta có [ 2;2] m  nên có tất cả 5 số nguyên là 2, 1,0 

thỏa mãn đề bài.

Nhận xét. Bài toán khéo léo kết hợp giữa 3 nội dung: hệ đối xứng loại 2, miền giá trị của hàm sin y x  và khảo sát hàm số. Dạng này tuy cũ nhưng cách đặt vấn đề khá mới mẻ.

Bài tập tương tự.

Tìm giá trị nhỏ nhất của m để phương trình   ln ln( ) m m x x    có nghiệm thực?

Bài 36. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

3 3 y x x m    trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là

A. 1. B. 2. C. 0. D. 6.

Lời giải. Chọn câu B.

Theo giả thiết thì

3 3 3

3

3 3 3 3, [0;2] 3 3 3 , [0;2] 3 3

m x x x x m x x x m x m x x

                     

.

Xét hàm số 3 ( ) 3 f x x x   trên [0;2] thì 2 ( ) 3 3 f x x    nên ( ) 0 1. f x x    

So sánh các số (0), (1), (2) f f f ta có

[0;2] [0;2] min ( ) 2,max ( ) 2 f x f x   . Suy ra

Hướng tới kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017 – 2018

2

    3 3

[0;2] [0;2] max 3 3 min 3 3 1 1 x x m x x m           .

Đây chỉ là điều kiện cần của m , ta thử lại như sau:

 Với 1 m  thì với 2 x  , ta sẽ có (2) 1 3 y f    .

 Với 1 m  thì với 1 x  , ta sẽ có (1) 1 3 y f    .

 Với 0 m  thì ( ) 2 y f x   nên không thể có giá trị lớn nhất là 3 được, không thỏa.

Vậy   1;1 S  nên có tất cả hai số thỏa mãn đề bài.

Nhận xét.

Ta thấy ( ) y f x  đạt giá trị lớn nhất khi ( ) f x đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (có thể là số âm

nhưng giá trị tuyệt đối lớn). Khi đó, ta có thể so sánh các giá trị (0) , (1) 2 , (2) 2 f m f m f m     để xét trường hợp; tuy nhiên, bài toán sẽ trở nên rắc rối nếu đạo hàm có nhiều nghiệm hơn.

Bài tập tương tự.

1) Tính tổng tất cả các giá trị m sao cho giá trị lớn nhất của

4 2 1 19 30 4 2 x x x m    trên [ 6;4]  không

vượt quá 10.

2) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ln 2 x x m   trên [0;1] là nhỏ nhất.

Bài 37. Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 2

        thỏa mãn 2 ( ) 2 1 f x x   

, (0) 1 f  và (1) 2. f  Giá

trị của biểu thức ( 1) (3) f f   bằng

A. 4 ln15  B. 2 ln15  C. 3 ln15  D. ln15

Lời giải. Chọn câu C.

Ta có 2 ( ) ( )d d ln 2 1 2 1 f x f x x x x C x          . Hàm số ( ) f x có đạo hàm trên 1 \ 2

        nên

sẽ liên tục trên từng khoảng 1 1 ( ; ),( ; ). 2 2   Do đó, hàm số ( ) f x có dạng

1

2

1 ln 2 1 , 2

1 ln 2 1 , 2

x C x

x C x

        

.

Thay 0 x  thì có 1 1 ln 1 1 1 C C     ; tương tự thay 1 x  thì có 2 2 ln 1 2 2. C C    

Do đó ( 1) (3) ln3 1 ln5 2 3 ln15. f f       

Nhận xét.

Bài toán đặt ra khá thú vị và mới mẻ. Ở đây ta cần hiểu rằng hàm số có đạo hàm thì trước hết nó phải

liên tục, cụ thể …