Đề vào môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 trường chuyên Lê Hồng Phong Nam Định

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Cho  2 2 2 7 f x x x    có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 , x x . Đặt  2 1. g x x   Tính giá trị

của biểu thức    1 2 . . T g x g x 

2. Cho các số thực , , a b c bất kì thoả mãn 2 2 2 2022 a b c    . Chứng minh rằng

      2 2 2 2 2 2 2 2 2 18198. a b c b c a c a b          Lời giải

1. Vì  2 2 2 7 f x x x    có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 , x x nên     1 2 2 f x x x x x   

Ta có           2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . 1 1 1 1 1 1 T g x g x x x x x x x         

          

1 2 1 2 1 1 7 . 3 21 1 1 1 1 . . 2 2 4 4 f f T x x x x            

Cách khác: Học sinh có thể tìm hai nghiệm của  f x là 1 2 1 15 1 15 , 2 2 x x    

Từ đó tính   

2 2

1 2 1 15 1 15 21 . 1 1 2 2 4 T g x g x                                   

.

2. Đặt t a b c  . Khi đó ta có             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 a b c b c a c a b t a t b t c              

        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 9 12 12 9 9 t t a b c a b c t t a b c a b c              

Do đó       2 2 2 2 2 2 2 2 2 9.2022 18198. a b c b c a c a b          

Cách khác: Học sinh có thể khai triển bình phương từng biểu thức rồi rút gọn và cũng được kết quả cần chứng minh.

Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:

1.  

3 2 1 3 4 x x x     .

2.      

3 7 4 2 2 4 7 4

2 2 1 2 14 4.

y x y x y

x y x

              

Lời giải

1. Điều kiện xác định 1 x .

Phương trình cho tương đương với   

1 1 4 1 0 1 4

x x x x x x

          

Ta có

  2 2 4 0 4 1 4 9 15 0 1 4

x x x x x x x x

                   

4 9 21 9 21 2 2

x x x

          

Đối chiếu điều kiện có tập nghiệm của phương trình là 9 21 1; 2

           

.

2. Điều kiện xác định 1 , 7 2 x y  

Ta có

        7 4 1 7 7 2 8 4 2 1 0 7 4 2 1 0 2 1

y y y x x y y y x y x

                    

Trường hợp 1: 7 4 9 y y     , thay vào (2) ta được

  2 2 2 1 2 4 2 2 1 2 4 2 1 4 4 x x x x x x x            (do 1 2 2 x  )

2 0 4 0 4 x x x x       

(thoả mãn điều kiện).

Trường hợp 2: 2 1 y x  , thay vào (2) ta được

    

2 2 2 2 1 4 12 4 2 2 1 3 2 1 3 x x x x x x x            (*)

Do 2 1 x  và 3 x  không đồng thời bằng 0 nên 2 1 3 0 x x   

Khi đó  * 2 2 1 3 2 1 2 3 x x x x        

    2 2 1 4 4 3 3 4 3 16 3 x x x x x x x            (do 2 1 7 3 y x x    )

2 4 16 48 0 12 x x x x        

Với 4 x  thì 9 y 

Với 12 x  thì 25 y 

Kết hợp các điều kiện ta có tập nghiệm của hệ phương trình là       0; 9 , 4; 9 , 12; 25 .

Câu 3. (3,0 điểm) Cho đường tròn   , O R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp

tuyến , MA MB với đường tròn  O ( , A B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm trên cung lớn AB của

đường tròn   , O R sao cho // AD MB và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường

tròn   , O R .

1. Gọi H là giao điểm của các đường thẳng OM và AB . Chứng minh rằng

. . MH MO MC MD  và tứ giác OHCD nội tiếp. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác . MAB Chứng minh rằng ba điểm , , A C G thẳng hàng.

3. Giả sử 3 . OM R  Kẻ đường kính BK của đường tròn   , O R . Gọi I là giao điểm của các

đường thẳng MK và AB . Tính giá trị biểu thức

2 2

2 2 8 5 . IM IA IA T IK IH AB    

Lời giải