Đề tuyển sinh chuyên môn Toán năm 2022 trường ĐHSP Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán (điều kiện) chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán điều kiện trường THPT

chuyên Sư Phạm

Nguyễn Duy Khương - Trịnh Đình Triển - TQĐ - Nguyễn Khang - Nguyễn Hoàng

Việt

1 Câu 1

Cho A = µx+px+1

x+px−2 + 1 px−1 + 1 px+2

¶ : 1 x−1 (x ≥0;x ̸= 1).

1. Rút gọn P.

2. Tìm các sốnguyên x sao cho 1

A là sốnguyên dương

Lời giải.

1. ĐKXĐ:x ≥0;x ̸= 1;

Ta có:

A = µx+px+1

x+px−2 + 1 px−1 + 1 px+2

¶ : 1 x−1

A = x+px+1+px+2+px−1

(px+2)(px−1) .(x−1)

A = x+3px+2 px+2 .( px+1)

A = (px+1)(px+2) px+2 .( px+1)

A = ( px+1)2

2. Ta có: 1

A = 1

(px+1)2

Lại có: px+1 ≥1 ⇒(px+1)2 ≥1 > 0 ⇒0 < 1

A ≤1

Mà 1

A nguyên dương, nên 1

A = 1 ⇔x = 0

Vậy x = 0

1 01/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán (điều kiện) chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

2 Câu 2

a) Trong mặt phẳng tọa độOxy, hãy viết phương trình đường thẳng (d) :

y = ax+b biết (d) đi qua A(2;−1) và song song với đường thẳng y = −3x+1.

b) Một cửa hàng kinh doanh điện máy sau khi nhập vềchiếc tivi, đã bán

chiếc tivi đó; cửa hàng thu được lãi là 10% của giá nhập về. Giảsửcửa

hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc tivi đó thêm 5% của giá đã bán, nhưng

bớt cho khách hàng 245000 đồng, khi đó cửa hàng sẽthu được tiền lãi

là 12% của giá nhập về. Tìm giá tiền khi nhập vềcủa chiếc tivi đó.

Lời giải.

a) Ta có đường thẳng d đi qua điểm A(2;−1) nên ta có 2a+ b = −1.

Mặt khác (d) song song vói y = −3x+1 nên    

  

a = −3

b ̸= 1

2a+ b = −1

⇒a = −3;b = 5.

Vậy phương trình đường thẳng d là y = −3x+5.

b) Gọi giá nhập vềcủa chiếc tivi đó là x (đồng). Theo đềcửa hàng thu lãi x 10, tức là giá đã bán là x+ x

10. Nếu cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc

tivi đó thêm 5% giá đã bán và bớt cho khách hàng 245000 đồng, khi đó

giá bán ra là x+ x

10 + 5

100

³ x+ x

10

´ −245000. Theo đềkhi đó cửa hàng thu

lãi là 12% của giá nhập về, kéo theo

x+ x

10 + 5

100

³ x+ x

10

´ −245000 = x+ 12

100x.

Từđó dễtính được x = 7000000.

Vậy giá nhập vềcủa chiếc tivi đó là 7 triệu đồng.

3 Câu 3

Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O), điểm D thuộc cung AB nhỏ(D khác

A,B). Các tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt AD theo thứtựtại E,G. Gọi I là

giao điểm của CE và BG.

2 01/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán (điều kiện) chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

a) Chứng minh rằng △EBC ∽△BCG.

b) Tính sốđo góc BIC. Từđó chỉra BIDE là tứgiác nội tiếp.

c) Gọi DI ∩BC = K. Chứng minh rằng: BK2 = K I.KD.

Lời giải.

a) Gọi tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại P.  EBC = 180◦− PBC = 180◦−  PCB = ƒ GCB.

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác DEB cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác GCD tại I′ khác D. Ta có: ƒ DI′B = 180◦−ƒ DEB và ƒ DI′C = 180◦−ƒ DGC

chú ý rằng:  BPC = 180◦−ƒ BOC = 180◦−120◦= 60◦Do đó:  BI′C = 120◦. Lại

có:

ƒ BDE =  EI′B = 60◦(do tứgiác DACB nội tiếp và EDI′B nội tiếp) dẫn đến:

E, I′,C thẳng hàng. Tương tự: G, I′,B thẳng hàng dẫn đến: I trùng I′.

3 01/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán (điều kiện) chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim

Do đó thu được:  BIC =  EBC = ƒ GBC dẫn đến các tam giác EBC và BIC

và BCG đồng dạng với nhau.

b) Từcâu a) ta đã chỉra  BIC = 120◦và BIDE nội tiếp.

c) Ta có:  CIB =  KIB =  BEI =  IDB dẫn đến tam giác K IB đồng dạng tam

giác KBD suy ra: KI

KB = KB

KD suy ra: BK2 = K I.KD.

Nhận xét. Ta còn có thểchỉra K là điểm cốđịnh khi D di động trên

cung AB nhỏcủa (O).

□

4 Câu 4

a) Tìm các sốthực x sao cho a = x + p

2 và b = x3 +5 p

2 đồng thời là hai số

hữu tỉ.

b) Biết rằng

• Phương trình bậc hai x2 + a1x+ b1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x0 và x1.

• Phương trình bậc hai x2 + a2x+ b2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x0 và x2.

• ...

• Phương trình bậc hai x2 + a2022x + b2022 = 0 có hai nghiệm phân biệt

là x0 và x2022.

Chứng minh rằng sốthực α = x1 + x2 +···+ x2022

2022 là nghiệm của phương

trình bậc hai

x2 + ³a1 +ããã+ a2022

2022

´ x+ b1 +ããã+ b2022

2022 = 0. (*)

Lời giải.

4 01/6/2022