Đề tuyển sinh vào năm 2022 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán Điều Kiện THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán điều kiện trường THPT

chuyên Khoa Học TựNhiên

Nguyễn Duy Khương - Nguyễn Hoàng Việt - Trịnh Đình Triển - Khôi Hà - Nguyễn

Văn Hoàng - Nguyễn Khang

1 Câu I

1) Giải hệphương trình  

 6(xy+5)+ x3y+5x2 = 42

x3 +5x2y+6x+30y = 42

2) Giải phương trình ³ 3p

x+6+ 3p

3−x ´³ 2+3 3p

(x+6)(3−x) ´ = 24.

Lời giải.

1) Trừtheo 2 vếphương trình của hệ, ta thu được

(x−5) ¡ x2 +6 ¢ (y−1) = 0

Suy ra hoặc x = 5 hoặc y = 1. Ta xét các trường hợp:

• Nếu x = 5, thay vào phương trình thứnhất của hệsuy ra

6(5y+5)+53y+5ã52 = 42,

hay là

155y+113 = 0 ⇒y = −113

155.

• Nếu y = 1, thay vào phương trình thứhai của hệsuy ra

x3 +5x2 +6x+30 = 42,

dễnhẩm được nghiệm x = 1, từđó sửdụng lược đồHoocner ta sẽ

phân tích được thành

(x−1) ¡ x2 +6x+12 ¢ = 0.

Mặt khác x2 +6x+9 > 0∀x ∈R ⇒x = 1.

1 05/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Điều Kiện THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Kết luận ta tìm được 2 cặp giá trị(x, y) thỏa mãn là (x, y) = µ 5,−113

155

¶ ,(1,1).

2) Đặt 3p

x+6 = a, 3p

3−x = b ⇒a3 + b3 = 9 hay là (a+ b)(a2 −ab + b2) = 9.

Theo đềbài ta có

(a+ b)(2+3ab) = 24

Suy ra

(a+ b) ¡ a2 −ab + b2¢ +(a+ b)(2+3ab) = 33.

Hay là

(a+ b) £ (a+ b)2 +2 ¤ = 33.

Đặt t = a+ b ⇒t(t2 +2) = 33 ⇔(t−3) ¡ t2 +3t+11 ¢ = 0.

Lại có t2 +3t+11 > 0∀t ∈R ⇒t = 3, hay a+ b = 3.

Kết hợp (a+ b)(2+3ab) = 24 ⇒2+3ab = 8 ⇒ab = 2.

Ta có  

 a+ b = 3

ab = 2

Nên theo định lí V iet đảo, a,b là 2 nghiệm của phương trình bậc 2:

X 2 −3X +2 = 0 ⇔X = 1, X = 2.

Xét hai trường hợp như sau:

• Trường hợp 1: a = 1,b = 2 ⇒

 



3p

x+6 = 1

3p

3−x = 2 ⇒x = −5.

• Trường hợp 2: a = 2,b = 1, dễdàng tìm được x = 2.

Từhai trường hợp ta có được S = {2,−5}

2 Câu II

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:

25y2 +354x+60 = 36x2 +305y+(5y−6x)2022

2) Trên bàn có 8 hộp rỗng (trong các hộp không có viên bi nào). Người ta

thực hiện các lần thêm bi vào các hộp theo quy tắc sau: mỗi lần chọn ra

2 05/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Điều Kiện THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

4 hộp bất kỳvà bỏvào 1 hộp 1 viên, 1 hộp 2 viên, 2 hộp còn lại 3 viên.

Hỏi sốlần thêm bi ít nhất có thểđểnhận được sốbi ở8 hộp trên là 8 số

tựnhiên liên tiếp ?

Lời giải.

1) Phân tích nhân tửgiảthiết ta được:

(6x−5y+1)(6x+5y−60)+(6x−5y)2022 = 0(1)

Xét 2 trường hợp:

a) Trường hợp 1: 6x−5y = 0 ⇒(6x−5y+1)(6x+5y−60) = 0 ⇒6x+5y = 60

Giải hệphương trình ta được: x = 5; y = 6 (thỏa mãn).

b) Trường hợp 2: 6x−5y ̸= 0

Khi này, do x, y ∈Z nên (6x−5y+1)(6x+5y−60)...(6x−5y)2022

Mà 6x−5y+1 và 6x−5y là 2 sốnguyên liên tiếp nên chúng nguyên

tốcùng nhau.

Suy ra 6x+5y−60...(6x−5y)2022

Đặt 6x+5y−60 = (6x−5y)2022.k(k ∈Z)

Khi này, thay vào (1) ta được:

(6x−5y)2022[k(6x−5y+1)+1] = 0

⇒k(6x−5y+1) = −1

Mà 6x−5y ̸= 0 ⇒6x−5y+1 ̸= 1

⇒k = 1;6x−5y+1 = −1 ⇒6x = 5y−2

⇒10y−62 = 22022 ⇒y = 22022 +62

10 Dễdàng nhận thấy, 22022 = 16505.4 ≡6.4 ≡4(mod10) ⇒22022 + 62 tận

cùng là 6, không chia hết cho 10.

Nên trường hợp này không có nghiệm nguyên.

Vậy x = 5; y = 6 là nghiệm nguyên duy nhất của bài toán.

2) Gọi sốbi các hộp liên tiếp lần lượt là a,a+1,··· ,a+7(a ∈N)

Khi này, tổng sốbi 8 hộp là 4(2a+7) viên.

Nhận thấy, mỗi lầm thực hiện quy tắc sửdụng 1 + 2 + 3 + 3 = 9 viên bi

3 05/6/2022