Đề tuyển sinh môn Toán (vòng 2) năm 2022 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên trường THPT

chuyên Khoa Học TựNhiên

Nguyễn Duy Khương - Nguyễn Hoàng Việt - Trịnh Đình Triển - Trương Mạnh Tuấn -

TQĐ - Nguyễn Văn Hoàng - Nguyễn Khang

1 Câu I

1) Với a,b, c là những sốthực dương thỏa mãn điều kiện 1

a + 1

b + 1

c = 1.

Chứng minh rằng:

1 2

µ 1 a+ bc + 1 b + ca + 1 c + ab

¶ =

s

abc (a+ bc)(b + ca)(c + ab)

2) Giải hệphương trình  

 2x2 +3xy+ y2 = 6

3x+2y+1 = 2 p

2x+ y+6

Lời giải.

1) Từgiảthiết suy ra ab + bc + ca = abc. Ta có: 1 a+ bc = a a2 + abc = a (a+ b)(a+ c)

Tương tự, ta có: 1 b + ca = b (b + c)(b + a); 1 c + ab = c (c + a)(c + b) Từđó suy ra :

V T = a(b + c)+ b(c + a)+ c(a+ b)

2(a+ b)(b + c)(c + a) = abc (a+ b)(b + c)(c + a) (1)

Và :

V P =

s

a2b2c2

(a+ b)2(b + c)2(c + a)2 = abc (a+ b)(b + c)(c + a) (do a,b, c > 0) (2)

Từ(1),(2), ta suy ra điều phải chứng minh.

2) Điều kiện: 2x+ y+6 ≥0. Nhân 4 vào phương trình thứnhất của hệta có

4(2x2 +3xy+ y2)−24 = 0

Phương trình thứhai của hệtương đương với  

 3x+2y+1 ≥0

(3x+2y+1)2 −4(2x+ y+6) = 0

1 06/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Ta viết lại thành hệmới    

  

3x+2y+1 ≥0(1)

4 ¡ 2x2 +3xy+ y2¢ −24 = 0(2)

(3x+2y+1)2 −4(2x+ y+6) = 0(3)

Lấy phương trình (3) trừđi phương trình (2), vếvới vế, ta thu được

(x−1)2 = 0 ⇒x = 1.

Mặt khác do

2x2 +3xy+ y2 = 6 ⇒y2 +3y−4 = 0 ⇒



y = 1

y = −4

• Nếu x = 1, y = 1, đối chiếu điều kiện 2x+ y+6 ≥0,3x+2y+1 ≥0 ta thấy

đều thỏa.

• Nếu x = 1, y = −4 ta có 2x+ y+6 = 4 > 0,3x+2y+1 = −4 < 0, không thỏa

mãn điều kiện (1).

Vậy chỉcó một cặp giá trị(x, y) = (1,1) là thỏa mãn.

2 Câu II

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên dương (x, y) thỏa mãn đẳng thức

(x+ y)(5x+ y)3 + xy3 = (5x+ y)3 + x2y3 + xy4.

2) Với a,b, c là những sốthực dương thỏa mãn các điều kiện sau  

 c ≤b < a ≤3,b2 +2a ≤10,b2 +2a+2c ≤14 ¡ a2 +1 ¢¡ b2 +1 ¢ +4ab ≤2a3 +2b3 +2a+2b.

Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

P = 4a2 + b4 +2b2 +4c2.

Lời giải

2 06/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

1) Ta biến đổi như sau

(x+ y)(5x+ y)3 + xy3 = (5x+ y)3 + x2y3 + xy4.

⇔(x+ y−1)(5x+ y)3 = xy3(x+ y−1).

Vì x, y là hai sốnguyên dương nên x+ y > 1. Do đó, ta suy ra

(5x+ y)3 = xy3.

Do đó, ta suy ra x cũng là lập phương của một sốnguyên dương. Đặt

x = z3, ta có

(5z3 + y)3 = (zy)3 ⇔5z3 + y = zy ⇔y(z −1) = 5z3.

Nếu z = 1 thì ta suy ra mâu thuẫn. Xét z ̸= 1. Khi đó, ta có z −1 | 5z3. Vì

5z3 ≡5 (mod z −1)

nên ta suy ra z −1 | 5. Từđây, ta tìm được z ∈{2;6}. Suy ra

(z, y) ∈{(2,40);(6,216)} ⇒(x, y) ∈{(8,40);(216,216)}

2) Lời giải (Trịnh Đình Triển).

Ta có: ¡ a2 +1 ¢¡ b2 +1 ¢ +4ab −2a ¡ a2 +1 ¢ −2b ¡ b2 +1 ¢ ≤0

⇔ ¡ a2 +1−2b ¢¡ b2 +1−2a ¢ ≤0 ⇔b2 +1 ≤2a

Ta có: P = (2a)2 +(b2 +1)2 +(2c)2 −1.

Do đó: P −76 = (2a−6)(2a+6)+(b2 −4)(b2 +6)+(2c −4)(2c +4)

= (2a−b2)(2a−6)+(b2−2c+2)(2a+b2−10)+(2c+4)(2a+2c+b2−14) ≤0 do

đó: P ≤76. Do đó MaxP = 76 với (a,b, c) = (3,2,2).

3 Câu III

Cho tam giác giác ABC nhọn nội tiếp (O), P thay đổi nằm trong tam giác sao

cho E,F là hình chiếu của P lên CA, AB thì BFEC nội tiếp đường tròn (K).

1) Chứng minh rằng: AP ⊥BC.

3 06/6/2022