Đề tuyển sinh chuyên môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

THCS.TOANMATH.com

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2022 - 2023

ĐỀ THI MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3,5 điểm)

a. Giải phương trình    2 2 2 1 4 1 4 x x x x x      .

b. Giải phương trình 2 3 5 2 15 2 4 x x x x       .

c. Giải hệ phương trình   

2 2

2

3 14

3 3 18

x y xy x y

x x x y y

          

.

Câu 2. (1,5 điểm)

a. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho 2 2 3 4 p pq q   là một số chính phương.

b. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số tự nhiên x, y thỏa mãn 3 3 6 8 x y xy p    .

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 2 2 3 a b c ab bc ca       . Chứng minh rằng:

a. 3 2

2 a b c    .

b. 2 2 2 2 3 2 3 2 3 6 ( ) ( ) ( ) ab bc ca a b b c c a          .

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O sao cho hai tia BA và CD cắt nhau tại điểm E, hai tia AD và BC

cắt nhau tại điểm F. Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD. Đường phân giác của các góc  BEC và  AFB cắt nhau tại điểm K. Gọi L là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng EF. Chứng minh rằng:

a.    DEF DFE EBF   và . KL LE LF  .

b.   GED HEA  và . . EG FH EH FG  .

c. 2. MB NB KH MC NA KG   ; trong đó M là giao điểm của hai đường thẳng EK và BC, N là giao điểm của hai đường

thẳng FK và AB.

Câu 5. (1,0 điểm)

Thầy Hùng viết các số nguyên 1, 2, 3, …, 2021, 2022 lên bảng. Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kì trên bảng. Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:

a. 3 số có tổng các bình phương là hợp số.

b. 504 số có tổng các bình phương chia hết cho 4.

---------- HẾT ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.

1

LỜI GIẢI ĐỀTHI TS VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC

Được thực hiện bởi Nguyễn Nhất Huy, Thầy Trịnh Văn Luân

Bài 1: ™

a) Giải phương trình (x2 −x + 1)(x2 + 4x + 1) = −4x2.

b) Giải phương trình √x + 3 + √5 −x −2 √

15 + 2x −x2 = −4.

c) Giải hệphương trình

 



x2 + y2 + xy + 3x = 14y

(x2 + 3x)(x + y −3) = 18y

Hướng dẫn giải

a) (x2 −x + 1)(x2 + 4x + 1) = −4x2.

• Với x = 0 thì V T = 1; V P = 0, nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

• Với x ̸= 0 ta chia cảhai vếcủa phương trình cho x2, ta được x −1 + 1

x

x + 4 + 1

x

= −4.

Đặt x −1 + 1

x

= a, phương trình trởthành a(a + 5) = −4

⇔a2 + 5a + 4 = 0

⇔



a = −1

a = −4 .

– Với a = −1 ⇒x + 1

x −1 = −1 ⇔x2 + 1 = 0 (vô nghiệm).

– Với a = −4 ⇒x + 1

x −1 = −4 ⇔x2 + 3x + 1 = 0 ⇔



 x1 = −3 − √

5 2

x2 = −3 + √

5 2

.

b)

√

x + 3 + √

5 −x −2 √

15 + 2x −x2 = −4

⇔ √

x + 3 + √

5 −x = 2 √

15 + 2x −x2 −4. (∗)

Điều kiện

    

   

x + 3 ≥0

5 −x ≥0 √

15 + 2x −x2 −2 ≥0

⇔1 −2 √

3 ≤x ≤1 + 2 √

3.

(∗) ⇔x + 3 + 5 −x + 2 √

15 + 2x −x2 = 4 15 + 2x −x2 −4 √

15 + 2x −x2 + 4

⇔4(15 + 2x −x2) −18 √

15 + 2x −x2 + 8 = 0. Đặt √

15 + 2x −x2 = a ≥2, ta có phương trình