Đề vào môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 trường chuyên Hạ Long Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: Toán (chuyên) (Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề thi này có 01 trang)

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Cho các số hữu tỉ ,x y thỏa mãn ( )( ) 3 2 3 2 1 − − = x y .

Chứng minh 2 2 = − + A x xy y là số hữu tỉ.

b) Giải phương trình: 2 6 5 1 5 1 − + = − x x x x .

c) Giải hệ phương trình:

2

2

6

3 2

 + =   + = 

x x y

y y x

.

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với x là số nguyên bất kỳ thì 25 1 + x không thể viết được dưới dạng tích hai số nguyên liên tiếp.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho

2

2 3 2 1 1 2 1 2   + + =   +  

x x x , trong đó kí hiệu { } [ ] = − a a a với [ ] a

là số nguyên lớn nhất không vượt quá a . Câu 3. (1,0 điểm)

Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn + ≤ x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2   = + + + +     P x y z x y z .

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH . Đường tròn ( ) O đường kính BC cắt AB

tại E ( E khác B ). Gọi D là một điểm trên cung nhỏ BE ( D khác B , D khác E ). Hai đường thẳng

DC và AH cắt nhau tại G , đường thẳng EG cắt đường tròn ( ) O tại M ( M khác E ), hai đường

thẳng AH và BM cắt nhau tại I , đường thẳng CI cắt đường tròn ( ) O tại P ( P khác C ).

a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp; b) Chứng minh . . = GAGI GE GM ; c) Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N , DB và CP cắt nhau tại K . Chứng minh hai đường thẳng NK và AH song song với nhau. Câu 5. (0,5 điểm)

Chứng minh rằng trong 16 số nguyên dương đôi một khác nhau nhỏ hơn 23, bao giờ cũng tìm được hai số khác nhau có tích là số chính phương.

............................. Hết ...........................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (3,0 điểm)

a. Cho các số hữu tỉ ,x y thỏa mãn ( )( ) 3 2 3 2 1 − − = x y . Chứng minh 2 2 = − + A x xy y là số

hữu tỉ. b. Giải phương trình: 2 6 5 1 5 1 − + = − x x x x .

c. Giải hệ phương trình:

2

2

6

3 2

 + =   + = 

x x y

y y x

.

Lời giải

a. Cho các số hữu tỉ ,x y thỏa mãn ( )( ) 3 2 3 2 1 − − = x y . Chứng minh 2 2 = − + A x xy y là số

hữu tỉ.

Ta có ( )( ) 3 2 3 2 1 − − = x y

9 6 6 4 1 ⇔ − − + = xy x y

9 6 6 3 ⇔ = + − xy x y

3 2 2 1 ⇔ = + − xy x y

( ) 3 2 1 ⇔ = + − xy x y

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 = − + = + + − = + − + + = + − = + − A x xy y x xy y xy x y x y x y x y

Vì ,x y hữu tỉ nên suy ra 1 + − x y là số hữu tỉ

⇒A hữu tỉ (đpcm)

b. Giải phương trình: 2 6 5 1 5 1 − + = − x x x x ( )1

Điều kiện: 1 5 ≥ x

Phương trình ( )1 tương đương với phương trình

2 6 5 1 5 1 0 ⇔ − + − −= x x x x

( ) ( ) 2 6 3 5 1 2 5 1 5 1 0 ⇔ − − + −− + = x x x x x x

( ) ( ) 3 2 5 1 5 1 2 5 1 0 ⇔ − − + − − − = x x x x x x

( )( ) 2 5 1 3 5 1 0 ⇔ − − + − = x x x x

2 5 1 0 ⇔ − −= x x hoặc 3 5 1 0 + −= x x

TH1: 2 5 1 0 − −= x x

2 5 1 ⇔ = − x x

2 4 5 1 ⇔ = − x x

2 4 5 1 0 ⇔ − + = x x

2 4 4 1 0 ⇔ − − + = x x x

( ) ( ) 4 1 1 0 ⇔ − − − = x x x

( )( ) 1 4 1 0 ⇔ − − = x x

1 0 4 1 0 −=  ⇔ −= 

x x

1

1 4

=   ⇔= 

x

x

(thỏa mãn đk)

TH2: 3 5 1 0 + −= x x

Do điều kiện 1 5 ≥ x nên 3 5 1 0 + −> x x với mọi giá trị của x

⇒ Phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 1; 4   =     S

c. Giải hệ phương trình:

2

2

6

3 2

 + =   + = 

x x y

y y x

Điều kiện 0; 0 ≠ ≠ x y

Ta có hệ phương trình

( )

( )

2

2

6 1

3 2 2

 + =   + = 

x x y

y y x

Nhân vế với vế của hai phương trình ( )1 và ( ) 2 ta được:

2 2 9    + + =      

x y x y y x

2 2 9 ⇔ + + + = xy y x xy

( ) 2 9 ⇔ + = x y

3

3

+ =  ⇔+ = − 

x y

x y

TH1: 3 3 + = ⇒ = − x y y x