Đề tuyển sinh môn Toán năm 2022 2023 trường THPT chuyên Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn 1 1 1 2 ab bc ca + + = và

2 2 2 ab bc ca a b c . + + =

Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 A . a b b c c a = + +

b) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a b ab 1 + + = .

Chứng minh rằng

( )( ) 2 2 2 2 a b 1 ab . 1 a 1 b 2 1 a 1 b

+ + = + + + +

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình ( ) 7 2 3x 1 5 2x 7 x + + = + .

b) Giải hệ phương trình

( )

( )

x 1 1 3y y 3 0

y y x 1 x 0.

 + − − + =  − + + = 

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Tìm số nguyên n để ( ) ( ) 2 2 2 A n 3n 2 n 2 = + + + + là số chính phương.

b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn

2022 a b b c c d d a a 2023 − + − + − + − = + .

Tìm số dư khi chia 12 a cho 16.

Câu 4. (2,5 điểm) Cho hai đường tròn ( ) O và ( ) O' cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên

tia đối của tia AB lấy điểm M, kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn ( ) O' , trong đó E và F

thuộc đường tròn ( ) O' , F nằm trong đường tròn ( ) O . Hai đường thẳng AE và AF cắt đường

tròn ( ) O lần lượt tại P và Q (P, Q khác A). Tia EF cắt PQ tại K. a) Chứng minh tam giác BKP đồng dạng với tam giác BFA . b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của AB với OO' và EF. Chứng minh IJE IFM = .

c) Chứng minh

2 2 PQ 2 OA OK . = − Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 3abc + + = .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P . 1 a 2bc 1 b 2ac 1 c 2ab = + + + + + + + +

Câu 6. (0,5 điểm) Lớp 9A có 34 học sinh, các học sinh lớp này đều tham gia một số câu lạc bộ của trường. Mỗi học sinh của lớp tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì của lớp này thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh lớp 9A tham gia.

------HẾT------ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh: ..................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Chú ý: - Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

- Điểm toàn bài không qui tròn. - Ban chấm thi có thể thống nhất để chia các ý có điểm lớn hơn 0.25 thành các ý 0.25 điểm.

Câu Nội dung Điểm

Câu 1a

1,0 đ Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 ab bc ca a b b c c a ab c abc a bc   + + =  + + + + + =     0,5

( ) 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 4 2. ab bc ca a b c a b b c c a a b c a b c + +  + + = − = − = Vậy 2. A = 0,5

Câu 1b

1,0 đ

( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1

a b ab a b a b

+ + = + + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1

a b ab ab a b a b

+ + +  = + + + + ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 a b a b  + = + +

0,5

( )

2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b  + = + + +

2 2 2 2 4 1 a b ab a b  + + = +

( ) ( ) 2 2 1 a b ab  + = − đúng (vì 1 a b ab + = − ), điều phải chứng minh.

0,5

Câu 2a

1,25 đ Điều kiện : 7 ; 0. 2 x x − 

Phương trình đã cho tương đương

2 6 2 7 5 2 7 0 x x x x + + − + =

0,25

( )( ) 3 2 7 2 2 7 0 x x x x  − + − + = 2 7 3 (1)

2 7 2 (2)

x x

x x

 + = 

+ = 

0,5

Giải phương trình (1): 2

0 2 7 3 1 9 2 7 0

  + =   =  − − = 

x x x x x x

(thỏa mãn). 0,25

Giải phương trình (2): 2

0 1 29 2 7 2 4 4 2 7 0

  + + =   =  − − = 

x x x x x x

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 1 29 1; . 4 x x + = =

0,25

Câu 2b

1,25 đ

Điều kiện: 1. x − Đặt 1, 0. t x t = +  Thay vào hệ phương trình đã cho, ta có

2 2 2 (1 3 ) 3 0 3 3 0

( ) 1 0 1 0

t y y t y ty

y y t t y ty t

− − + = − − + =      − + −= − + −=  

0,25