Đề vào môn Toán (chuyên) 2022 2023 trường chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

NĂM HỌC 2022 -2023 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài : 150 phút, không tính thời gian phát đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

a. So sánh biểu thức 2 3 2 1 : 1 5 6 2 3 x x x x A x x x x x

   + + + = − + +       + − + − −   

với 5 2 − .

b. Tính giá trị của biểu thức

2024 2023

2 4 ( 1) 2 2 1 2 3 x x x x B x x + − + + = + tại 1 3 2 3 2 2 3 2 x= − − +

.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Giải phương trình: 1 3 1 3 1 4 x x x x − −+ = +

b. Giải hệ phương trình:

2 2

8 1 1 1 2 2 4

x y xy

x x y y

+ + =  + =  + + 

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Tìm các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn phương trình

2 2 2 5 62 ( 2) ( 6 8) y y y x y y x − + = − + − + . b. Cho đa thức ( ) P x với các số nguyên thỏa mãn (2021). (2022) 2023 P P = . Chứng minh rằng đa thức ( ) 2024 P x − không có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3,0 điểm).

1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; D là 1 điểm thay đổi trên cung lớn AB (D khác A và B); DM cắt AB tại C. a. Chứng minh rằng MB.BD = MD.BC; b. Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và khi điểm D thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên một đường thẳng cố định. 2. Cho hình thoi ABCD có 2 AB = . Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 1 2 2 R R + ≥ .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 4 6 a b c ab + + = . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

3 3 2 8 2 16 a b a b P b c a c c + = + + + + .

………… HẾT ……….

Lời giải

Câu 1

a. ĐKXĐ:

0

4

9

x

x

x

≥  ≠  ≠ 

2 3 2 1 : 1 5 6 2 3 x x x x A x x x x x

   + + + = − + +       + − + − −   

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

1 2 9 4 : 1 2 3 2 3 2 3

1 3 2 : 1 1 2 3

x x x x x A x x x x x x x

x x A x x x x

    + − + − −   ⇔ = + −      + − − − − − −   

− − ⇔ = = + + − −

Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 5 1 5 2 5 7 1 2 2 1 2 1 2 1

x x x x A x x x

− + + − + + = + = = + + +

Vì 5 5 0 0 2 2 x A A ≥ ⇒ + > ⇒ > −

Vậy 5 2 A > − .

b. Vì 1 3 3 1 2 2 3 2 2 3 2 x − = − = − +

nên 3 1 2 x − = là nghiệm của đa thức 2 2 2 1 x x + −

Do đó:

2023 2

2 2 (2 2 1) 2 1 2 1 3 3 (2 2 1) 1 1 x x x x x B x x x x + − + + + = = = − + − + + + .

Câu 2.

a. ĐKXĐ:

0

1 3

x

x

> ≥− 

Phương trình đã cho đương đương với : 4 (3 1) 1 4 3 1 x x x x x − + −= +

2 12 (3 1) 4 3 1 x x x x ⇔ − + = +

Đặt 2 , 3 1 a x b x = = + ta có phương trình 2 2 3 2 ( )( 3 ) 0 3 b a a b ab b a b a b a =  − = ⇔ − + = ⇔= − 

Khi đó 3 1 2

3 1 6

x x

x x

 + =  + = − 

+) Với 3 1 2 x x + = , điều kiện 0 x > , ta có

2 2 3 1 2 3 1 4 4 3 1 0 x x x x x x + = ⇔ + = ⇔ − −=

1

1 ( ) 4

x

x KTM

=   ⇔= − 

+) Với 3 1 6 x x + = − , điều kiện 1 0 3 x − ≤ < , ta có

2 3 1 6 36 3 1 0 x x x x + = − ⇔ − −=

3 153 72 3 153 ( ) 72

x

x KTM

 − =   ⇔  + = 

Vậy phương trinh có hai nghiệm là 1 x = , 3 153 72 x − = .

b. Ta có

2 2

8 1 1 1 2 2 4

x y xy

x x y y

+ + =  + =  + +  ( ) ( ) 2 2

( 1)( 1) 9

1 1 1 4 1 1 1 1

x y

x y

+ + =   ⇔ + =  + − + − 

Đặt 1, 1 u x v y = + = +

Hệ đã cho trở thành

2 2

9 1 1 1 1 1 4

uv

u v

=  + =  − − 

, điều kiện: ( ) 1 1 u v ≠±  ∗ ≠± 

2 2 2 2 2 2 9 4( 2) 1 uv u v u v u v =  ⇔ + − = − − + 

2 2 9 9 3 ( ( )) 18 6 3 uv uv u v TM u v u v u v = = = =    ⇔ ⇔ ⇔ ∗    + = + = ± = = −   

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là 2 4 ; 2 4 x x y y = = −     = = −  

.

Câu 3.

a. Ta có: 2 2 2 5 62 ( 2) ( 6 8) y y y x y y x − + = − + − +

2 2

2

2

( 5 6) 56 ( 2) ( 2)( 4)

( 2)( 3) 56 ( 2) ( 2)( 4)

( 2)( 4 3) 56 ( 1)( 2)( 3) 56

y y y x y y x

y x yx x y x y x y

⇔ − + + = − + − −

⇔ − − + = − + − −

⇔ − + − − + = ⇔ − − + − =

Nhận thấy ( 2) ( 1) 3 y x x y − + − = + −, nên ta phải phân tích số 56 thành tích của 3 số nguyên mà tổng 2 số đầu bằng 2 số còn lại. Như vậy, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( …