Đề tuyển sinh THPT môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (2,5 điểm)

a. Tính giá trị của các biểu thức: 81 16 A = − ; ( )

2 11 2 11 B = + − .

b. Cho biểu thức: 1 2 2 . 1 2 a P a a a a   = +   − − +  

, với 0 a > và 1 a ≠.

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tính giá trị của P khi 3 2 2 a = + .

Lời giải a.

Ta có 2 2 81 16 9 4 9 4 5 A = − = − = − =

( )

2 11 2 11 11 2 11 11 2 11 2 B = + − = + − = + − = .

Vậy 5, 2. A B = =

b. 1. Với 0 a > và 1 a ≠ ta có:

( )

( )

1 2 2 1 2 2 . . 1 2 1 2 1

2 2 2 . 2 1 1

a a P a a a a a a a a

a a a a a a

      = + = +     − − + − + −    

+ = = + − −

2. Ta có ( ) ( )

2 2 2 3 2 2 2 2. 2.1 1 2 1 2 1 2 1. a a = + = + + = + ⇒ = + = +

Thay 2 1 a = + vào biểu thức P sau thu gọn ta được 2 2 2 1 2 P a = = = −

.

Câu 2. (2,0 điểm)

a. Vẽ đồ thị hàm số 3 y x = −.

b. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 y x = − và đường thẳng 3 y x = −.

c. Cho phương trình bậc hai với tham số ( ) 2 : 2 1 2 3 0 (1) m x m x m − + + − = .

1. Giải phươntg trình (1) khi 0 m = .

2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x với mọi m . Tìm

tất cả các giá trị của m thỏa mãn: 1 2 1 2 2 1 x x x x + − = .

Lời giải a.

Bảng giá trị: ( ): 3 d y x = −

x 0 1 3 y x = − 3 − 2 −

Đường thẳng 3 y x = − đi qua 2 điểm ( ) 0; 3 A − và ( ) 1; 2 B − .

Đồ thị

b. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 y x = − và đường thẳng 3 y x = − là

2 2 2 3 2 3 0 x x x x − = − ⇔− − + =

Ta có ( ) ( ) 2 1 4. 2 .3 25 0 ∆= − − − = > nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

( ) ( ) 1 2 1 5 3 1 5 ; 1 2 2. 2 2 2 2. 2 b b x x a a −+ ∆ + − −− ∆ − = = = = = = − − .

Với 1 1 3 3 9 3 9 3 ; 2 2 2 2 2 x y A − − − − −   = ⇒ = − = ⇒    

.

Với ( ) 2 1 1 1 3 2 1; 2 x y B = ⇒ = − = −⇒ − .

Vậy hai giao điểm cần tìm là 3 9 ; 2 2 A − −      

và ( ) 1; 2 B − .

c.

1. Thay 0 m = vào phương trình (1) ta có: 2 2 3 0 x x − − = .

Ta có ( ) ( ) 1 2 3 0 a b c − + = −− + − = .

Suy ra phương trình có hai nghiệm 1 2 1, 3 c x x a − = − = = .

Vậy với 0 m = thì phương trình có tập nghiệm { } 1;3 S = − .

2. Xét phương trình ( ) 2 2 1 2 3 0 x m x m − + + − = (1)

Ta có ( ) ( ) 2 2 ' 1 2 3 4 0 m m m ∆= + − − = + > với mọi m .

Khi đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x .

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: ( ) 1 2

1 2

2 1

2 3

x x m

x x m

 + = +  = − 

.

Theo đề ( ) ( ) 1 2 1 2 7 2 1 2 1 2 2 3 1 2 8 1 2 7 2 x x x x m m m m m + − = ⇔ + − − = ⇔− + = ⇔ = ⇔ = .

Vậy 7 2 m = là giá trị cần tìm.

Câu 3. (1,5 điểm)

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a. 4 2 3 2 0 x x − + = . b. 2 9 3 x y x y + =  − = 

.

Lời giải

a. 4 2 3 2 0 x x − + =

Đặt 2, 0 t x t = ≥ .

Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 3 2 0 t t − + = (1)

Phương trình (1) có ( ) 1 3 2 0 a b c + + = + − + = nên có hai nghiệm phân biệt là 1 2 1 , 2 t t = = .

Với 2 1 1 1 1 t x x = ⇔ = ⇔ = ± .

Với 2 2 2 2 2 t x x = ⇔ = ⇔ = ± .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm { } 1; 1; 2; 2 S = −− .

b.

( ) 2 3 9 2 9 2 9 3 3 3

3 6 9 1 1 3 3 4

y y x y x y x y x y x y

y y y x y x y x

+ + =  + = + =    ⇔ ⇔    − = = + = +     + = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = + = + =   

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 4;1 x y =

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( ) O đường kính AB . Dây cung MN vuông góc với AB , ( ) AM BM < . Hai

đường thẳng BM và NA cắt nhau tại K . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng AB .

a. Chứng minh rằng tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn.

b. Chứng minh rằng . . NB HK AN HB = .

c. Chứng minh HM là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O . Lời giải