Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 sở GD ĐT Đắk Lắk

Câu 1.

Cho phương trình ( ) 2 2 2 1 2 0 x m x m m − − + − − = với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của

m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thỏa mãn 3 3 1 2 1 2 5 10 15 x x x x m + − = + .

Giải

( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 2 4 4 1 4 4 8 9 0 m m m m m m m ∆= − − − − = − + − + + = >

Suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; 2 x m x m = + = − .

Có ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 3 1 2 1 2 5 10 15 1 2 5 1 2 10 15 0 x x x x m m m m m m + − = + ⇔ + + − − + − − − =

3 2 3 2 2 3 2 3 3 1 6 12 8 5 10 10 15 0 4 5 6 0 m m m m m m m m m m m ⇔ + + + + − + −− + − − = ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 2 6 0 3 3 2 3 0 m m m m m m m m m m ⇔ − − + + − = ⇔ − − − + − =

( )( ) 2 3 2 0 3 m m m m ⇔ − − + = ⇔ = .

Vậy 3 m = . Câu 2.

1) Giải phương trình: 2 3 2 5 3 2 x x x x x + + = + − + .

2) Giải hệ phương trình: ( )

( )

2 2

2 2 4 5 3 0 1

10 9 2 1 0 2

x xy y x y

x y x

 − − + − + =  − + + −= 

.

Giải 1) Phương trình đã cho tương đương với:

( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 3 2 1 x x x x x x − + + + = + − + . Điều kiện: 2 x ≥−

Đặt 2 1, 2; , 0 u x x v x u v = − + = + ≥ .

Phương trình trở thành: ( )( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 0 2 0 2

u v u v uv u uv v u v u v u v

=  + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔= 

Với u v = thì 2 2 1 2 2 1 0 1 2 x x x x x x − + = + ⇔ − −= ⇔ = ±

Với 2 u v = thì ( ) 2 2 5 53 1 4 2 5 7 0 2 x x x x x x ± − + = + ⇔ − − = ⇔ = .

2) Điều kiện: 1 x ≥

( ) ( )( )

3 1 3 2 1 0 1 1 2 2

y x x y x y y x

= −−   ⇔ + + − + = ⇔ = + 

Với 3 y x = −−, thế vào ( ) 2 ta được: 2 10 39 2 1 0 x x x + + + −=

( )

2 5 14 2 1 0 x x ⇔ + + + −= : vô nghiệm.

Với 1 1 2 2 y x = + , thế vào ( ) 2 ta được: 2 5 4 2 1 0 x x x − + + −=

( ) ( )

2 2 2 4 4 2 1 2 1 1 x x x x x x ⇔ − + = − −⇔ − = −−

( )

( )

1 1 3 2 1 1

2 1 1 1 3 4

x x x x

x x x x

  −= − − = −−  ⇔ ⇔   − = − − −= −  

( ) ( ) ( )

1 / 1 0 3 2 / 1 1

x t m x

x t m x

 = −= ⇔ ⇔  = −=   

.

( ) ( ) 2 2 3 0 3 4 2 / 1 6 9 7 10 0

x x x t m x x x x x

− ≥ ≤   ⇔ ⇔ ⇔ =   −= − + − + =  

Với 1 x = thì 1 y =

Với 2 x = thì 3 2 y =

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

2 1; 3 1 2

x x y y

=  =     = =  

.

Câu 3.

1) Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài bằng 47cm, chiều rộng bằng. Chứng minh rằng trong trong số 2022 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật ABCD luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 2 cm .

1) Tìm tất cả các số nguyên dương ,x y thỏa mãn 2 2 5 3 20 24 477 x y x y + = − + .

Giải 1) Chia hình chữ nhật ABCD thành 2021 hình vuông nhỏ có cạnh bằng 1cm .

Khi lấy 2022 điểm bất kì trong hình chữ nhật ABCD thì chúng thuộc 2021 hình vuông nhỏ trên. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 điểm thuộc cùng một hình vuông nhỏ.

Khi đó khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn đường chéo hình vuông nhỏ là 2 cm.

2) 2 2 2 2 5 3 20 24 477 5 20 20 3 24 48 545 x y x y x x y y + = − + ⇔ − + + + + =

( ) ( ) 2 2 5 2 3 4 545 x y ⇔ − + + =

Do ( ) 2 5 2 x − và 545 cùng chia hết cho 5 nên ( ) 2 3 4 y + chia hết cho 5.

Mà ( ) 3,5 1 = nên ( ) 2 3 4 5 y +  hay ( ) 4 5 y + 

Có ( ) ( ) 2 2 545 3 4 545 4 4 13 3 y y y + ≤ ⇒ + ≤ ⇒ + ≤

Từ đó 1 y = hoặc 6 y = .

Với 1 y = thì ( ) 2 2 94 x − = : loại

Với 6 y = thì ( ) 2 2 49 9 x x − = ⇒ =

Vậy cặp ( ) ;x y cần tìm là ( ) 9;6 .

Câu 4.

Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 3 24 a b c abc + + = . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 3 3 2 16 1 2 36 1 3 4 1

b c a

a b b c c a + + ≥ + + +

.

Giải

Có 1 1 1 2 3 24 4 2 6 3 a b c abc ab bc ca + + = ⇔ + + = .